Baumdiagramm: Ziehen ohne Zurücklegen

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In diesem Artikel erkläre ich dir, wie du ein Baumdiagramm für „Ziehen ohne Zurücklegen“ erstellst. Hierbei klären wir zunächst, was „Ziehen ohne Zurücklegen“ überhaupt bedeutet, dann zeige ich dir an einem Beispiel, wie du für diesen Sachverhalt ein Baumdiagramm erstellst. Als letztes gehe ich nochmals auf die beiden Rechenregeln, die es an einem Baumdiagramm gibt, also die „Pfadmultiplikation“ und die „Summenregel“ ein, indem ich sie bei einem Beispiel anwende.

Was du vorher wissen solltest:

Ziehen ohne Zurücklegen:

Im letzten Artikel habe ich dir ja schon erklärt, was „Ziehen mit Zurücklegen“ bedeutet. „Ziehen ohne Zurücklegen“ möchte ich dir auch wieder an einer Urne in der rote und blaue Kugeln enthalten sind, erklären. „Ziehen ohne Zurücklegen“ heißt eigenlich nur, dass eine Kugel, die einmal aus einer Urne entnommen wurde, nicht wieder zurückgelegt wird. Oder aber, etwas allgemeiner ausgedrückt, dass nie wieder die Ausgangssituation hergestellt wird und dass sich von Stufe zu Stufe die Wahrscheinlichkeiten ändern. Warum ist das so? Schauen wir uns hierzu diese Urne an:

Urne mit Kugeln

Wie du siehst  beinhaltet diese Urne 3 rote und 2 blaue Kugeln. Insgesamt sind als 5 Kugeln vorhanden. Wenn wir jetzt zum Beispiel eine rote Kugel ziehen, dann hat diese rote Kugel die relative Häufigkeit von \(\frac {3}{5}\), da 3 von 5 Kugeln rot sind.

Urne mit Kugeln

Diese Kugel legen wir nun nicht mehr in die Urne zurück, also sind in dieser Urne nun 2 rote und 2 blaue Kugeln (eine rote fehlt). Jetzt haben die möglichen Ausgänge also andere Wahrscheinlichkeiten. Zum einen hat sich die Gesamtzahl verringert, zum anderen die Anzahl an roten Kugeln. Die nächste rote Kugel hat also nicht mehr die Wahrscheinlichkeit \(\frac {3}{5}\), sondern \(\frac {2}{4}\) (gekürzt \(\frac {1}{2}\)), da nun 2 von 4 Kugeln rot sind.

Der große Unterschied zum „Ziehen mit Zurücklegen“ ist also, dass nicht mehr jede Stufe eines Experimentes die selbe Wahrscheinlichkeit hat. Hier ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Zug zu Zug.

Urne mit Kugeln

Erstellung eines Baumdiagramms:

Die Erstellung eines Baumdiagramms möchte ich dir nun anhand dieser Urne erklären.

Aus dieser Urne ziehen wir nun eine Kugel, legen die erste Kugel aber nicht zurück in die Urne. Wir erstellen somit ein Baumdiagramm für „Ziehen mit Zurücklegen“:

1. Als erstes überlegen wir uns wieviele verschiedene Möglichkeiten dieser Zug hat! In diesem Fall sicherlich zwei, denn wir können eine rote oder eine blaue Kugel ziehen. Das heißt, dass wir nun zwei Abzweigungen brauchen (allgemein: eben genau gleich viele Abzweigungen wie Möglichkeiten).

Erstellung Baumdiagramm

Wie du siehst besteht bei diesem Vorgehen noch gar kein Unterschied zu „Ziehen mit Zurücklegen“.

2. Nachdem wir nun die Anzahl der Abzweigungen ermittelt haben, werden die Enden dementsprechend beschriftet. Eine Abzweigung steht für den Ausgang rot, die Andere für blau.

Erstellung Baumdiagramm

Alternativ zu zwei farbigen Punkten, kannst du bei dieser Situation auch wieder gerne mit einem r und einem b beschriften.

Auch hier ist noch kein Unterschied zu „Ziehen mit Zurücklegen“.

3. Nun werden die relativen Häufigkeiten an die Seite der jeweiligen Äste hingeschrieben.

Erstellung Baumdiagramm

In diesem Fall hat die rote Kugel die relative Häufigkeit \(\frac {3}{5}\), da drei von fünf Kugeln rot sind und die blaue Kugel \(\frac {2}{5}\), da zwei von fünf Kugeln blau sind.

Die erste von zwei Ziehungen ist nun beendet und wir sind genau wie bei „Ziehen mit Zurücklegen“ vorgegangen. Nun starten wir mit der zweiten Ziehung und hier fängt der unterschiedliche Ansatz zu „Ziehen mit Zurücklegen“ an, denn nun stellen wir nicht wieder die Ausgangsituation her!

Was sich allerdings nicht ändert, ist, dass wir immernoch jeweils eine rote oder eine blaue Kugel ziehen können, ganz unabhängig davon was als erstes gezogen wurde. Also ergänzen wir dieses Baumdiagramm mit jeweils zwei Ästen, die wir wieder mit rot und blau beschriften!

Bei den relativen Häufigkeiten musst du nun aufpassen, denn sie unterscheiden sich nicht nur von den Wahrscheinlichkeiten der ersten Stufe, sie unterscheiden sich auch bei beiden Abzweigungen bei der zweiten Stufe.

Erstellung Baumdiagramm

Die linke Seite steht dafür, dass im Vorfeld eine rote Kugel gezogen wurde, das heißt, dass nun 2 von 4 Kugeln rot sind und 2 von 4 blau. Also ist die relative Häufigkeit sowohl von rot als auch von blau \(\frac {2}{4}\) bzw. gekürzt \(\frac {1}{2}\) (wobei ich an einem Baumdiagramm zunächst nicht kürze).

Erstellung Baumdiagramm

Auf der rechten Seite haben wir auf der ersten Stufe eine blaue Kugel entnommen. Das heißt, dass wir auch hier wieder 4 Kugeln insgesamt haben, allerdings sind davon drei rot und nur eine blau. Also ist hier die relative Häufigkeit von rot \(\frac {3}{4}\) und von blau \(\frac {1}{4}\).

Erstellung Baumdiagramm Ziehen ohne Zurücklegen

Dies ist nun das vollständig ausgefüllte Baumdiagramm! Wie du siehst fängt der Unterschied zwischen „Ziehen mit Zurücklegen“ und „Ziehen ohne Zurücklegen“ auf der zweiten Stufe bzw. beim zweiten Zug an.

Unterschied Baumdiagramm für Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Rechenbeispiele an diesem Baumdiagramm:

Beispiel 1: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von zwei roten Kugeln

Summenregel

P(r,r) = P(Summenregel,Pfadmultiplikationsregel) = \(\frac {3}{5}\) x \(\frac {2}{4}\) = \(\frac {6}{20}\) = \(\frac {3}{10}\)

Endwahrscheinlichkeiten werden, wie ich dir schon im letzten Artikel erklärt habe, mit der Pfadmultiplikationsregel ermittelt.

Beispiel 2: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von einer blauen Kugel

Wie du siehst handelt es sich um zwei verschiedene Äste von denen wir nun die Endwahrscheinlichkeiten jeweils mit der Produktregel berechnen und diese dann mithilfe der Summenregel addieren. Die Formulierung „eine blaue Kugel“ sagt ja keinesfalls aus, dass diese Kugel als erstes gezogen werden muss. Diese blaue Kugel kann offensichtlich als erstes oder als zweites gezogen werden, sodass es genau diese beiden Äste sind, von denen wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen:

P(r,b) = P(,) = \(\frac {3}{5}\) x \(\frac {2}{4}\) = \(\frac {6}{20}\) = \(\frac {3}{10}\)

P(b,r) = P(,) = \(\frac {2}{5}\) x \(\frac {3}{4}\) = \(\frac {6}{20}\) = \(\frac {3}{10}\)

P(,) + P(,) = \(\frac {3}{10}\) + \(\frac {3}{10}\) = \(\frac {6}{10}\) = \(\frac {3}{5}\)

 

Einen kleinen Tipp habe ich noch:

Beim „Ziehen ohne Zurücklegen“ ändert sich die Gesamtzahl von Stufe zu Stufe um eins. Das heißt, dass, wenn auf der ersten Stufe 5 Kugeln vorhanden waren, dann sind es auf der zweiten Stufe 4. Wenn wir sogar ein drittes Mal ziehen würden, dann wären es dort 3. Beim 4. Zug dann zwei und beim 5. Zug dann eine Kugel. Mir persönlich hilf es immer so zu starten, dass ich als erstes ein unausgefülltes Baumdiagramm zeichne, dann auf jeder Stufe die Gesamtheit unter dem Bruch eintrage (das ist übrigens der Grund warum sich Brüche zur Beschriftung besser eignen als Dezimalzahlen).

Das sieht dann erst so aus:

Tipp Baumdiagramm

Erst als letztes kümmere ich mich um die Zähler der jeweiligen Brüche, indem ich mir stets die Frage stelle, wieviele Kugeln (hier zumindest Kugeln) der jeweiligen Farbe noch vorhanden sind!

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