Das arithmetische Mittel

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(1)


(1.) Was ist das arithmetische Mittel
(2.) Das ungewogene arithmetische Mittel
(3.) Das gewogene arithmetische Mittel
(a.) mit absoluten Häufigkeiten
(b.) mit relativen Häufigkeiten


(1.) Was ist das arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel, oder auch arithmetischer Mittelwert, ist ein sogenannter Lageparameter aus dem Bereich der Statistik. Lageparameter sind Maßzahlen, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung erlauben. Umgangssprachlich wird dieser Mittelwert mit „Durchschnitt“ bezeichnet.


(2.) Das ungewogene arithmetische Mittel

Bei dem ungewogenen arithmetischen Mittel sind Beobachtungswerte gegeben (im Gegensatz dazu sind bei dem gewogenen arithmetischen Mittel die absoluten oder relativen Häufigkeiten gegeben).

Die Formel:

\( \begin{array}[h]{rll}
\bar{x} & = \frac{x_1+x_2+…+x_n}{n} & \text{ oder}\\
& =\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n} x_i &\text{ oder}\\
& =(x_1+x_2+…+x_n):n & \text{ oder}\\
&=\frac{1}{n} \cdot (x_1+x_2+…+x_n)
\end{array}\)

Hinweis: Diese Formeln stellen lediglich unterschiedliche Schreibweisen dar. Bei der richtigen Anwendung liefern sie alle dasselbe Ergebnis, nämlich das arithmetische Mittel! Im folgenden Beispiel wird die letzte Schreibweise verwendet!


Julia hat folgende Noten und möchte ihren Durchschnitt berechnen:
2; 2; 1; 3; 5; 1

Bestimmung der Anzahl n durch Abzählen (Anzahl der Noten): n=6
Bereichnung des arithmetischen Mittels:

\( \begin{array}[h]{rl}
\bar{x} & =\frac{1}{n} \cdot (x_1+x_2+…+x_n)\\
& =\frac{1}{6} \cdot (2+2+1+3+5+1)\\
& =\frac{1}{6} \cdot 14\\
&\approx 2,33
\end{array}\)

Tipp: Beobachtungswerte addieren und diese Summe mit \(\frac{1}{n}\) multiplizieren.


(3.) Das gewogene arithmetische Mittel

Bei dem gewogenen arithmetischen Mittel sind die absoluten oder relativen Häufigkeiten gegeben (im Gegensatz dazu sind bei dem ungewogenen arithmetischen Mittel die Beobachtungswerte gegeben).


a) mit absoluten Häufigkeiten

Formel:

\( \begin{array}[h]{rll}
\bar{x} & = \frac{x_1\cdot H_1+x_2\cdot H_2+…+x_m \cdot H_m}{n} & \text{ oder}\\
& =\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{m} x_i \cdot H_i &\text{ oder}\\
& =(x_1\cdot H_1 +x_2\cdot H_2+…+x_m \cdot H_m):n & \text{ oder}\\
&=\frac{1}{n} \cdot (x_1\cdot H_1+x_2 \cdot H_2+…+x_m \cdot H_m)
\end{array}\)

Hinweis: Diese Formeln stellen lediglich unterschiedliche Schreibweisen dar. Bei der richtigen Anwendung liefern sie alle dasselbe Ergebnis, nämlich das arithmetische Mittel! Im folgenden Beispiel wird die letzte Schreibweise verwendet!


Beispiel: Schulnoten
\( \begin{array}[h]{r|c|c|c|c|c}
\text{Schulnote }x_i&1&2&3&4&5\\
\hline
\text{absolute Häufigkeit }H_i&3&2&1&1&1\\
\end{array}\)

Bestimmung der Anzahl n: 3+2+1+1+1=8 \( \rightarrow \) n=8
Berechnung des arithmetischen Mittels:

\( \begin{array}[h]{rl}
\bar{x} & =\frac{1}{n} \cdot (x_1\cdot H_1+x_2\cdot H_2+…+x_m \cdot H_m)\\
& =\frac{1}{8} \cdot (1 \cdot 3+ 2\cdot 2+ 3\cdot 1+4 \cdot 1+5 \cdot 1)\\
& =\frac{1}{8} \cdot (3+4+3+4+5)\\
& =\frac{1}{8} \cdot 19\\
&\approx 2,4
\end{array}\)

Tipp: 1 durch „Anzahl“ mal „oben mal unten + oben mal unten + …“


b) mit relativen Häufigkeiten

Formel:

\( \begin{array}[h]{rll}
\bar{x} & = x_1\cdot h_1 +x_2\cdot h_2+…+x_m \cdot h_m & \text{ oder}\\
&=\sum\limits_{i=1}^{m}x_i \cdot h_i
\end{array}\)

Beispiel: Schulnoten
\( \begin{array}[h]{r|c|c|c|c}
\text{Schulnote }x_i&1&2&3&4\\
\hline
\text{relative Häufigkeit }h_i&0,2&0,4&0,3&0,1\\
\end{array}\)

Berechnung des arithmetischen Mittels:

\( \begin{array}[h]{rl}
\bar{x} & =x_1\cdot h_1 +x_2\cdot h_2+…+x_m \cdot h_m\\
& =1 \cdot 0,2+ 2\cdot 0,4+ 3\cdot 0,3+4 \cdot 0,1\\
& =2,3
\end{array}\)

Tipp: „oben mal unten + oben mal unten + …“

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