Ableitung

4.7
(12)

In diesem Beitrag erkläre ich euch alle Grundlagen, die ihr für die Ableitung von Funktionen benötigt.

Inhalt des Beitrags:

Potenz-, Summen-, Faktor- und Konstantenregel
Ableitungen wichtiger Funktionen
Wurzeln und Brüche ableiten
Die Kettenregel
Die Produktregel
Die Quotierenregel
Trick für e-Funktion und ln-Funktion
Kombinationen

(1.) Potenz-, Summen-, Faktor- und Konstantenregel zur Bestimmung der Ableitung

Diese vier elementaren Ableitungsregeln bilden die Grundlage und sind somit Voraussetzung für alle weiteren, komplizierteren Regeln. Sie lassen sich recht anschaulich anhand eines Beispiels erklären:

\(f(x)=2x^3+5x^2-7x+1\)

Diese Funktion ist eine ganzrationale Funktion bestehend aus einzelnen Summanden, da ihre Terme durch ein Pluszeichen oder Minuszeichen getrennt sind.

Die Summenregel besagt, dass die Summanden einzeln abgeleitet werden:

\(f(x)=g(x) \pm h(x) \longrightarrow f'(x)= g'(x) \pm h'(x)\)

Es entstehen einzelne „Päckchen“, die nun jeweils gesondert behandelt werden

\( f(x)= \underbrace{2x^3}_{1.} +\underbrace{5x^2}_{2.} -\underbrace{7x}_{3.}+\underbrace{1}_{4.} \)

Der erste Summand verdeutlicht sowohl die Potenz-, als auch die Faktorregel besonders gut!
Die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor, oder auch Vorfaktor einer Potenzfunktion beibehalten wird und mit der Ableitung der Potenzfunktion multipliziert wird:

\(f(x)=c \cdot g(x) \longrightarrow f'(x)= c \cdot g'(x)\)

Um die „Teilfunktion“ abzuleiten brauchen wir außerdem die sogenannte Potenzregel.

\(f(x)=x^b \longrightarrow f'(x)= b \cdot x^{b-1}\)

Diese Regel besagt, dass eine Potenzfunktion abgeleitet wird, indem der aktuelle Exponent vor der Basis multipliziert und von diesem als neuen Exponenten die Eins abgezogen wird.

1. \( 2x^3 \longrightarrow \underbrace{2 \cdot}_{Faktorregel} \quad \underbrace{3x^{3-1}}_{Potenzregel}=6x^2\)

Genauso lassen sich der 2. und 3. Summend ableiten

2. \( 5x^2 \longrightarrow 5 \cdot 2 \cdot x^{2-1}=10x \)

3. \(7x=7x^1 \longrightarrow 7 \cdot 1 \cdot x^{1-1}=7x^0=7 \cdot 1=7\)

Die letzte elementare Ableitungsregel, die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer „reinen“ Zahl Null ist.

\(f(x)= c \longrightarrow f'(x)=0\)

4. \(1 \longrightarrow 0\)

Nun können wir die Ableitungen der einzelnen Summanden wieder mit den jeweiligen Rechenzeichen zusammensetzen und haben damit die Ableitung von \( f(x) \) bestimmt.

$$f(x)=x^3+5x^2-7x+1\\
f'(x)=3x^2+10x-7+[0]\\
f'(x)=3x^2+10x-7$$

Die \(+0\) darf natürlich weggelassen werden, da sie die Funktion nicht verändert!


Übungsaufgaben

Übersicht der elementaren Ableitungsregeln:

Summenregel: \(f(x)=g(x) \pm h(x) \longrightarrow f'(x)= g'(x) \pm h'(x)\)

Faktorregel: \(f(x)=c \cdot g(x) \longrightarrow f'(x)= c \cdot g'(x)\)

Potenzregel: \(f(x)=x^b \longrightarrow f'(x)= b \cdot x^{b-1}\)

Konstantenregel: \(f(x)= c \longrightarrow f'(x)=0 \)


(2.) Ableitungen wichtiger Funktionen

$$\begin{array}[h]{c|c}
f(x) & f'(x) \\ \hline
c & 0 \\ \hline
m \cdot x+b & m \\ \hline
x^p & p \cdot x^{p-1} \\ \hline
e^x & e^x \\ \hline
a \cdot e^{b \cdot x} & a \cdot b \cdot e^{b \cdot x} \\ \hline
\sqrt{x} & \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \hline
\sqrt[n]{x^m} & \frac{m}{n} \cdot x^{\frac{m}{n}-1} \\ \hline
ln(x) & \frac {1}{x} \\ \hline
sin(x) & cos(x)\\ \hline
cos(x) & -sin(x)
\end{array}$$

Übungsaufgaben Ableitung

(3.) Wurzeln und Brüche ableiten

Wenn du eine Wurzel wie \( \sqrt[n]{x^m}\) oder einen Bruch der Form \( \frac{1}{x^b}\) ableiten möchtest, dann besteht deine erste Aufgabe darin diese Ausdrücke in die Potenzschreibweise zu überführen und anschließend mithilfe der Potenzregel abzuleiten:

Umformungsregeln:

$$\begin{array}[h]{lrcl}
(1.) \text{ Wurzeln:} & \sqrt[n]{x^m} & ^\underleftrightarrow{\text{umgeformt}} & x^{\frac{m}{n}}\\
(2.) \text{ Brüche:} & \frac{1}{x^a} & ^\underleftrightarrow{\text{umgeformt}} & x^{-a}\end{array}$$

Beispiel Wurzelfunktion:
\(f(x)=\sqrt[3]{x^2} \quad ^\underrightarrow{\text{umgeformt}} \quad x^{\frac{2}{3}}\\
f'(x)=\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}\)

Dieser Ausdruck lässt sich mithilfe der beiden Regeln wieder umformen!

\(f'(x)=\frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}} \quad ^\underrightarrow{\text{2.Regel}} \quad \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \quad ^\underrightarrow{\text{1.Regel}} \quad \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{2}{3 \cdot \sqrt[3]{x}}\)


Beispiel Bruchfunktion:
\(f(x)=\frac{2}{x^3}=2 \cdot \frac{1}{x^3} \quad ^\underrightarrow{\text{umgeformt}} \quad 2 \cdot x^{-3}\\
f'(x)=2 \cdot (-3) \cdot x^{-3-1}=-6 \cdot x^{-4}\)

Auch dieser Ausdruck lässt sich wieder umformen!
\(f'(x)=-6 \cdot x^{-4}\quad ^\underrightarrow{\text{2.Regel}} \quad -6 \cdot \frac{1}{x^4}=-\frac {6}{x^4}\)

Übungsaufgaben

(4.) Die Kettenregel zur Bestimmung der Ableitung

Diese Ableitungsregel wird benutzt, um eine Verkettung von Funktionen abzuleiten. Hierbei ist bei der Ausgangsfunktion \( f(x) \) eine Funktion in eine andere eingesetzt \( f(x)=u(v(x))\). Die eingesetzte Funktion wird in der Regel mit „innere Funktion“ \( v(x) \) bezeichnet und die Funktion, in die eingesetzt wird mit „äußere Funktion“ \(u(x)\).

\(f(x)=u(v(x)) \longrightarrow f'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x) \)

„In die Ableitung der äußeren Funktion die ursprünglich innere einsetzen und dies mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.“


Beispiel 1: \( f(x) =(2x+1)^4 \)

   
1.\( u(x)= x^4 \)\( u'(x)= 4x^3 \)
2.\( v(x)=2x+1 \)\( v'(x)=2 \)
3.\(f'(x)=4 \cdot (2x+1)^3 \cdot 2 \) 
4.\(f'(x)=8 \cdot (2x+1)^3 \) 

Schritte:
1.) \( u(x) \) und \( v(x)\) bestimmen.
2.) \( u'(x) \) und \( v'(x)\) bilden.
3.) Formel anwenden
[4.) vereinfachen]


Beispiel 2: \( f(x)=4 \cdot e^{3x-5} \)

   
1.\( u(x)= 4e^x \)\( u'(x)= 4e^x \)
2.\( v(x)=3x-5 \)\( v'(x)=3 \)
3.\(f'(x)=4 e^{3x-5} \cdot3 \) 
4.\(f'(x)=12 e^{3x-5} \) 

Schritte:
1.) \( u(x) \) und \( v(x)\) bestimmen.
2.) \( u'(x) \) und \( v'(x)\) bilden.
3.) Formel anwenden
[4.) vereinfachen]


(5.) Die Produktregel zur Bestimmung der Ableitung

Mit dieser Ableitungsregel leitet man ein Produkt, also eine Multiplikation von zwei Funktionen ab. Hierbei bezeichnet man die Funktion vor dem Multiplikationszeichen (1. Faktor) in der Regel mit \(u(x)\) und die Funktion nach diesem Zeichen (2. Faktor) mit \(v(x)\).

$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \longrightarrow f'(x)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

„Die Ableitung des ersten Faktors wird mit dem ursprünglichen zweiten Faktor multipliziert und dieses Produkt wird zur Multiplikation zwischen dem ursprünglichen ersten Faktor mit der Ableitung des zweiten Faktors addiert.“


Beispiel 1: \( f(x)=x^2\cdot e^x \)

     
1. \( u(x)= x^2 \) \( u'(x)= 2x \)
2. \( v(x)=e^x \) \( v'(x)= e^x \)
     
3. \(f'(x)=2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x\)
4. \(f'(x)=e^x(2x + x^2)\)
  \(f'(x)=e^x(x^2 + 2x)\)

Schritte:
1.) \( u(x) \) und \( v(x)\) bestimmen.
2.) \( u'(x) \) und \( v'(x)\) bilden.
3.) Formel anwenden
[4.) vereinfachen
Tipp bei e-Funktion: ausklammern]


Beispiel 2: \( f(x)=(-4x^2+1)\cdot sin(x) \)

     
1. \( u(x)= -4x^2+1 \) \( u'(x)= -8x \)
2. \( v(x)=sin(x) \) \( v'(x)=cos(x) \)
     
3. \(f'(x)=-8x \cdot sin(x)+(-4x^2+1) \cdot cos(x) \)

Schritte:
1.) \( u(x) \) und \( v(x)\) bestimmen.
2.) \( u'(x) \) und \( v'(x)\) bilden.
3.) Formel anwenden
[4.) vereinfachen
Tipp bei e-Funktion: ausklammern]

Übungsaufgaben Ableitung

(6.) Die Quotientenregel zur Bestimmung der Ableitung

Diese Regel wird benutzt um einen Quotienten der Form \(f(x)=\frac {u(x)}{v(x)}\) abzuleiten. Hierbei wird der Zähler häufig mit \( u(x) \) und der Nenner mit \( v(x)\) bezeichnet.

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \longrightarrow f'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$

Beispiel: \( f(x)= \frac{x^2+1}{x^3}\)

     
1. \( u(x)= x^2+1 \) \( u'(x)= 2x \)
2. \( v(x)=x^3 \) \( v'(x)=3x^2 \)
     
3. \(f'(x)= \frac{2x \cdot x^3-(x^2+1)\cdot 3x^2}{(x^3)^2} \)
4. \(f'(x)= \frac{2x^4-3x^4-3x^2}{x^6} \)
  \(f'(x)= \frac{-1x^4-3x^2}{x^6} \)
  \(f'(x)= \frac{x^2(-1x^2-3)}{x^6} \quad ^\underrightarrow{\text{kürzen}} \quad\frac{-1x^2-3}{x^4} \)
  \(f'(x)= \frac{-1x^2-3}{x^4} \)

Schritte:
1.) \( u(x) \) und \( v(x)\) bestimmen.
2.) \( u'(x) \) und \( v'(x)\) bilden.
3.) Formel anwenden
[4.) vereinfachen
Tipp bei e-Funktion: ausklammern]

Tipp: Wenn ihr die Quotientenregel nicht thematisiert, dann könnt ihr eine Funktion, die diesem Aufbau entspricht, umformen. \( f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}= u(x) \cdot (v(x))^{-1}\). Die Umformung wird in der Regel mithilfe der Produkt- und Kettenregel abgeleitet!


(7.) Trick für e-Funktion und ln-Funktion zur Bestimmung der Ableitung

Verkettungen mit der e-Funktion und der ln-Funktion lassen sich einfacher mittels eines kleinen Tricks ableiten!

Verkettung mit e-Funktion:

$$f(x)=(Zahl) \cdot e^{irgendwas} \longrightarrow f'(x)=(Zahl) \cdot (irgendwas)‘ \cdot e^{irgendwas}$$

Beispiel:

\( \begin{array}[h]{rl}
f(x)=5 \cdot e^{3x+1} \longrightarrow f'(x) & =5 \cdot (3x+1)‘ \cdot e^{3x+1} \\
& =5 \cdot 3 \cdot e^{3x+1} \\
  & =15 \cdot e^{3x+1} \
\end{array}\)


Verkettung mit ln-Funktion:

$$f(x)=ln(irgendwas) \longrightarrow f'(x)=\frac {1}{irgendwas} \cdot (irgendwas)’$$

Beispiel:

\( \begin{array}[h]{rl}
f(x)=ln(3x+4) \longrightarrow f'(x) & =\frac {1}{3x+1} \cdot (3x+1)‘ \\
& =\frac {1}{3x+1} \cdot 3 \\
  & =\frac {3}{3x+1}
\end{array}\)

Ableitung

(8.) Kombinationen

Wenn deine Aufgabe darin besteht eine Funktion abzuleiten, die sowohl aus zwei verschiedene Ableitungsregeln besteht, dann solltest du zunächst das \( u(x) \) und \( v(x) \) der „äußeren“ Regel bestimmen. Um \( u'(x) \) und/oder \( v'(x) \) zu ermitteln verwendest du anschließend die „innere“ Regel zum Beispiel in einer Nebenrechnung oder, wenn möglich, mithilfe des Tricks für e-Funktion und ln-Funktion. Da du nach der Nebenrechnung alle vier Bausteine der „äußeren“ Regel bestimmt hast, kannst du diese nun anwenden.

Beispiel mit Produkt- und Kettenregel:

Produktregel: \(f(x)=u(x) \cdot v(x) \longrightarrow f'(x)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)

Kettenregel: \(f(x)=u(v(x)) \longrightarrow f'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x) \)

$$f(x)=\underbrace{-4x^2 \cdot \overbrace{ e^{6x+4}}^{Kettenregel}}_{Produktregel}$$

     
1. \( u(x)= -4x^2 \) \( u'(x)= -8x \)
2. \( v(x)=e^{6x+4} \) \( v'(x)=6 \cdot e^{6x+4} \)
     
  NR: Bestimmung von \(v'(x)\) mit Trick für die e-Funktion:
  \(v(x)=(Zahl) \cdot e^{irgendwas}\\ \longrightarrow v'(x)=(Zahl) \cdot (irgendwas)‘ \cdot e^{irgendwas}\\ \\ v(x)=e^{6x+4}\\ \longrightarrow v'(x)=(6x+4)‘ \cdot e^{6x+4}=6\cdot e^{6x+4} \\ \)
3. \(f'(x)= -8x \cdot e^{6x+4}+(-4x)\cdot 6e^{6x+4}\)
4. \(f'(x)= e^{6x+4}\cdot (-8x+(-4x^2)\cdot 6) \)
  \(f'(x)= e^{6x+4}\cdot (-24x^2-8x) \)

Schritte:
1.) \( u(x) \) und \( v(x)\) von der Produktregel bestimmen.
2.) \( u'(x) \) und \( v'(x)\) bilden.
Tipp: Kettenregel in Nebenrechnung oder mithilfe eines Ableitungstricks
3.) Produktregel anwenden
[4.) vereinfachen
Tipp bei e-Funktion: ausklammern]

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