Das Quadrat

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In diesem Beitrag geht es um das Quadrat, seine wesentlichen Eigenschaften und die wichtigsten Berechnungen.

Inhalt des Beitrags:

Die Eigenschaften des Quadrates
Die Beschriftung
Der Umfang
Der Flächeninhalt
Die Länge der Diagonalen
Die Symmetrieeigenschaften
Der Umkreis und der Inkreis
Komplettes Beispiel


(1.) Die Eigenschaften des Quadrates

Ein Viereck, bei dem

1.) alle Seiten gleich lang und parallel sind und
2.) alle Winkel eine Größe (90°) von besitzen

nennt man Quadrat.


Es gilt also:



\(\Rightarrow\)



\( \overline{AB}= \overline{BC}= \overline{CD}= \overline{DA}\)
(alle Seiten sind gleich lang!)

Das Quadrat



\(\Rightarrow\)



\( \alpha =\beta =\gamma =\delta = 90°\)
(alle Winkel betragen \(90°\), sind also rechte Winkel!)

Rechte Winkel im Quadrat

\(\Rightarrow\)

Die Diagonalen in einem Quadrat sind:

  • gleich lang
    \( \overline{AC}=\overline{BD}\)

  • Sie halbieren sich gegenseitig
    \( \overline{AM}=\overline{BM}=\overline{CM}=\overline{DM}\)

  • Sie schneiden sich in \( 90°\)-Winkeln
    \( \angle AMB = \angle BMC = \angle CMD = \angle AMD = 90°\)
Diagonalen im Quadrat


(2.) Die Beschriftung des Quadrates



Die Eckpunkte eines Quadrates werden mit großen Buchstaben entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet. Hierzu erhält der linke, untere Eckpunkt den Buchstaben A, der rechte untere B, der rechte obere C und der linke obere Eckpunkt D.




Die Seitenlängen werden alle mit dem kleinen Buchstaben a beschriftet, da sie alle die gleiche Länge besitzen.



Alle Winkel können mit dem Zeichen des rechten Winkels bezeichnet werden, denn sie alle haben eine Größe von \( 90°\).


(3.) Der Umfang des Quadrates

Für den Umfang eines Quadrates werden alle vier Seitenlängen addiert.

Da jede Seite die Länge \(a\) besitzt, gilt:

\(U_Q=\) \( a+a+a+a \)
\(U_Q=\) \( 1a+1a+1a+1a \)
\(U_Q=\) 4 \(\cdot\) a
Umfang des Quadrates


Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=5 cm\)
Gesucht: Der Umfang \(U_Q\)
Rechnung:

\(U_Q=\) \( 4 \cdot a \) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 5 cm für \(a\) einsetzen
\(U_Q=\) \( 4 \cdot 5cm \)
\(U_Q=\) \(20cm\)


(4.) Der Flächeninhalt des Quadrates:

Der Flächeninhalt eines Quadrates wird mit

\(A_Q=\) \( a \cdot a \) \( \, \, \, \,\)
\(A_Q=\) \(a^2\)

berechnet!

Flächeninhalt Quadrat


Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=4 cm\)
Gesucht: Der Flächeninhalt \(A_Q\)
Rechnung:

\(A_Q=\) \( a^2 \) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 4 cm für \(a\) einsetzen
\(A_Q=\) \( (4cm)^2 \)
\(A_Q=\) \(16 cm^2\)


(5.) Die Berechnung der Diagonalenlänge

Die Formel zur Berechnung der Diagonalen lautet:

\(d=\) \(a \cdot \sqrt{2}\)
Diagonale Quadrat


Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=4 cm\)
Gesucht: Die Länge der Diagonalen \( d \)
Rechnung:

\(d=\) \( a \cdot \sqrt{2} \) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 4 cm für \(a\) einsetzen
\(d=\) \( (4cm) \cdot \sqrt{2} \)
\(d=\) \(4 \cdot \sqrt{2} \, cm \approx 5,66 \, cm\)


(6.) Die Symmetrieeigenschaften des Quadrates

  1. Achsensymmetrie:
    Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen. Zum einen die beiden Diagonalen und zum anderen die Mittelsenkrechten.
  2. Punktsymmetrie:
    Das Quadrat ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M (=Schnittpunkt der beiden Diagonalen)
Symmetrie Quadrat


(7.) Der Umkreis und der Inkreis eines Quadrates

Jedes Quadrat besitzt sowohl einen Umkreis, als auch einen Inkreis!

Die Formel zur Berechnung des Umkreisradius lautet:

\(r_u=\) \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)

Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=4 cm\)
Gesucht: Der Radius \( r_u \) des Umkreises
Rechnung:

\(r_u=\) \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 4 cm für \(a\) einsetzen
\(r_u=\) \(\frac{4 \, cm }{\sqrt{2}}\)
\(r_u=\) \(2 \cdot \sqrt{2}\, cm \approx 2,83 \, cm\)
Umkreis Quadrat


Die Formel zur Berechnung des Inkreisradius lautet:

\(r_i=\) \(\frac{a}{2}\)

Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=6 cm\)
Gesucht: Der Radius \( r_i \) des Inkreises
Rechnung:

\(r_i=\) \(\frac{a}{2}\) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 6 cm für \(a\) einsetzen
\(r_i=\) \(\frac{6 \, cm }{2}\)
\(r_i=\) \(3 \, cm \)
Inkreis Quadrat


(8.) Komplettes Beispiel

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=10cm \)!
Rechnungen:

  1. Umfang:
    \(U_Q= 4 \cdot a\)   |\(a=10cm\)
    \(U_Q= 4 \cdot \, 10cm\)
    \(U_Q=40 cm\)

  2. Flächeninhalt:
    \(A_Q= a \cdot a\)   |\(a=10cm\)
    \(A_Q= 10 cm \cdot \, 10cm\)
    \(A_Q=100 cm^2\)

  3. Diagonalenlänge:
    \(d= a \cdot \sqrt{2}\)   |\(a=10cm\)
    \(d= 10 cm \cdot \, \sqrt{2}\)
    \(d=10 \sqrt{2} cm \approx 14,14 cm\)

  4. Umkreisradius:
    \(r_u= \frac{a}{\sqrt{2}}\)   |\(a=10cm\)
    \(r_u= \frac{10cm}{\sqrt{2}}\)
    \(r_u=5 \sqrt{2} cm \approx 7,07 cm\)

  5. Inkreisradius:
    \(r_i= \frac{a}{2}\)   |\(a=10cm\)
    \(r_i= \frac{10cm}{2}\)
    \(r_i=5 cm\)

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