Koordinate eines Punktes mit Abstand berechnen (Vektoren)

Gegeben: \(\mathbf{A}(1, 3, -1)\), \(\mathbf{B}(1, -1, r)\) und \(\overrightarrow{AB}\)
Gesucht: r

Um die fehlende Koordinate \(r\) des Punktes \(\mathbf{B}(1, -1, r)\) zu bestimmen, wenn der Abstand zwischen den Punkten \(\mathbf{A}(1, 3, -1)\) und \(\mathbf{B}\) gegeben ist \(| \overrightarrow{AB}| = 5\), verwenden wir die Vektorrechnung.

Schritt 1: Berechnung des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{AB}\):

Der Verbindungsvektor von Punkt \(\mathbf{A}(1, 3, -1)\) zu Punkt \(\mathbf{B}(1, -1, r)\) wird durch die Differenz der Koordinaten gebildet:

\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
r
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
1 \\
 3 \\
-1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 – 1 \\
-1 – 3 \\
r – (-1)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
-4 \\
r + 1
\end{bmatrix}
\]

Schritt 2: Berechnung des Betrags des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{AB}\) und Gleichsetzen des Betrags mit 5 (gegebener Abstand):

Der Betrag eines Vektors \(\overrightarrow{v}\) wird als \(|\overrightarrow{v}|\) dargestellt und ist gegeben durch:

\[
|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
\]

In unserem Fall:

\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (r + 1)^2}
\]

Wir setzen den Betrag gleich 5:

\[
5 = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (r + 1)^2}
\]

Schritt 3: Jetzt können wir die Gleichung weiter lösen, um \(r\) zu bestimmen und vereinfachen den Ausdruck unter der Wurzel, in dem wir zunächst die einfachen Quadrate ausrechnen.

\[
5 = \sqrt{16 + (r + 1)^2}
\]

Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten wir diesen Ausdruck, denn \(5^2\) ist \(25\) und auf der rechten Seite hebt das Quadrat die Wurzel weg, da das Quadrat und die Wurzel Gegenrechnungen sind:

\[
25 = 16 + (r + 1)^2
\]

Subtrahieren wir 16 von beiden Seiten:

\[
9 = (r + 1)^2
\]

Nehmen wir die Wurzel beider Seiten:

\[
\pm 3 = r + 1
\]

Da die Wurzel aus 9 zwei Lösungen hat, können wir zwei mögliche Werte für \(r\) finden:

1. \(3 = r + 1 \qquad |-1\qquad\), also \(r = 3 – 1 = 2\)
2. \(-3 = r + 1\qquad |-1\qquad\), also \(r = -3 – 1 = -4\)

Daher gibt es zwei mögliche Lösungen: \(r = 2\) und \(r = -4\).