Binomialverteilung: \( n \), \( p \), und \( q \) aus \(E(x) \) und \( S(x) \)
Inhaltsverzeichnis
– Was ist die Binomialverteilung? Definition und Grundlagen der Berechnung
– Beispiel 1: \( E(X) = 30 \) (Erwartungswert) und \( S(x) = 5 \)(Standardabweichung)
– Beispiel 2: \( E(X) = 40 \) (Erwartungswert) und \( S(x) = 6 \) (Standardabweichung)
– Beispiel 3: \( E(X) = 50 \) (Erwartungswert) und \( S(x) = 7 \) (Standardabweichung)
– Zusammenfassung
– FAQ: Häufige Fragen zur Binomialverteilung
Was ist die Binomialverteilung? Definition und Grundlagen der Berechnung
Die Binomialverteilung beschreibt Experimente mit genau zwei möglichen Ergebnissen: Erfolg oder Misserfolg.
Ein Beispiel ist das Werfen einer Münze: Kopf (Erfolg) oder Zahl (Misserfolg).
Die wichtigsten Größen sind:
– \( n \): Die Anzahl der Versuche.
– \( p \): Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg.
– \( q \): Die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg (\( q = 1 – p \)).
Erwartungswert und Standardabweichung
– Erwartungswert \( E(X) \): Gibt an, wie viele Erfolge man im Durchschnitt erwartet. Berechnet mit \( E(X) = n \cdot p \).
– Standardabweichung \( S(x) \): Zeigt, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen. Berechnet mit \( S(x) = \sqrt{n \cdot p \cdot q} \).
Beispiel 1:
Gegeben:
– \( E(X) = 30 \) (Erwartungswert)
– \( S(x) = 5 \) (Standardabweichung)
Gesucht:
– \( n \): Anzahl der Versuche
– \( p \): Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs
– \( q = 1 – p \): Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs
Die Berechnung:
1. Setze \( E(X) = n \cdot p \) und \( S(x) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} \) ein.
\( 30=n \cdot p \)
\( 5=\sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} \)
2. Berechnung von \( p \) mit \( n \cdot p = 30 \). Der Erwartungswert wird somit in die Standardabweichung eingesetzt:
\[
\begin{align*}
5 &= \sqrt{30 \cdot (1 – p)} \quad \vert ()^2 \\
25 &= 30 \cdot (1 – p) \quad \vert :30 \\
\frac{5}{6} &= 1 – p \quad \vert -1 \\
-\frac{1}{6} &= -p \quad \vert :(-1) \\
\frac{1}{6} &= p\\
p &= \frac{1}{6} \\
\end{align*}
\]
3. Berechnung von \( n \). \(p=\frac{1}{6}\) wird nun in \( 30=n \cdot p \) eingesetzt:
\[
\begin{align*}
n \cdot \frac{1}{6} &= 30 \quad \vert : \frac{1}{6} \\
n &= 180 \\
\end{align*}
\]
Ergebnisse:
– \( n = 180 \)
– \( p = \frac{1}{6} \)
– \( q = 1 – p = 1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} \)
Beispiel 2:
Gegeben:
– \( E(X) = 40 \) (Erwartungswert)
– \( S(x) = 6 \) (Standardabweichung)
Gesucht:
– \( n \): Anzahl der Versuche
– \( p \): Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs
– \( q = 1 – p \): Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs
Die Berechnung:
1. Setze \( E(X) = n \cdot p \) und \( S(x) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} \) ein.
\( 40 = n \cdot p \)
\( 6 = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} \)
2. Berechnung von \( p \) mit \( n \cdot p = 40 \). Der Erwartungswert wird somit in die Standardabweichung eingesetzt:
\[
\begin{align*}
6 &= \sqrt{40 \cdot (1 – p)} \quad \vert ()^2 \\
36 &= 40 \cdot (1 – p) \quad \vert :40 \\
\frac{9}{10} &= 1 – p \quad \vert -1 \\
-\frac{1}{10} &= -p \quad \vert :(-1) \\
p &= \frac{1}{10} \\
\end{align*}
\]
3. Berechnung von \( n \). \(p = \frac{1}{10}\) wird nun in \( 40 = n \cdot p \) eingesetzt:
\[
\begin{align*}
n \cdot \frac{1}{10} &= 40 \quad \vert :\frac{1}{10} \\
n &= 400 \\
\end{align*}
\]
Ergebnisse:
– \( n = 400 \)
– \( p = \frac{1}{10} \)
– \( q = 1 – p = 1 – \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \)
Beispiel 3:
Gegeben:
– \( E(X) = 50 \) (Erwartungswert)
– \( S(x) = 7 \) (Standardabweichung)
Gesucht:
– \( n \): Anzahl der Versuche
– \( p \): Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs
– \( q = 1 – p \): Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs
Die Berechnung:
1. Setze \( E(X) = n \cdot p \) und \( S(x) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} \) ein.
\( 50 = n \cdot p \)
\( 7 = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} \)
2. Berechnung von \( p \) mit \( n \cdot p = 50 \). Der Erwartungswert wird somit in die Standardabweichung eingesetzt:
\[
\begin{align*}
7 &= \sqrt{50 \cdot (1 – p)} \quad \vert ()^2 \\
49 &= 50 \cdot (1 – p) \quad \vert :50 \\
\frac{49}{50} &= 1 – p \quad \vert -1 \\
-\frac{1}{50} &= -p \quad \vert :(-1) \\
p &= \frac{1}{50} \\
\end{align*}
\]
3. Berechnung von \( n \). \(p = \frac{1}{50}\) wird nun in \( 50 = n \cdot p \) eingesetzt:
\[
\begin{align*}
n \cdot \frac{1}{50} &= 50 \quad \vert :\frac{1}{50} \\
n &= 2500 \\
\end{align*}
\]
Ergebnisse:
– \( n = 2500 \)
– \( p = \frac{1}{50} \)
– \( q = 1 – p = 1 – \frac{1}{50} = \frac{49}{50} \)
Zusammenfassung
– Der Erwartungswert einer Binomialverteilung wird durch \( E(X) = n \cdot p \) berechnet, wobei \( n \) die Anzahl der Versuche und \( p \) die Erfolgswahrscheinlichkeit ist.
– Die Standardabweichung wird durch \( S(x) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} \) berechnet und gibt an, wie stark die Werte um den Erwartungswert schwanken.
– Anhand von Beispielen können \( n \) und \( p \) ermittelt werden, wenn der Erwartungswert und die Standardabweichung bekannt sind.
FAQ: Häufige Fragen zur Binomialverteilung
\( n \): Die Anzahl der Versuche in einem Bernoulli-Experiment (z. B. Würfe bei einem Würfelspiel oder die Anzahl der Prüfungen bei einem Test). \( p \): Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bei einem einzelnen Versuch (z. B. das Würfeln einer 6). \( q = 1 – p \): Die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs (z. B. das Würfeln von etwas anderem als einer 6).
1. Erwartungswert: \[ E(X) = n \cdot p \] Der Erwartungswert gibt den durchschnittlich erwarteten Wert nach \( n \) Versuchen an.
2. Standardabweichung: \[ S(x) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} \] Die Standardabweichung misst die Streuung der Ergebnisse um den Erwartungswert.
Der Erwartungswert \( E(X) \) allein reicht nicht aus, um \( n \) und \( p \) zu bestimmen, da es unendlich viele Kombinationen von \( n \) und \( p \) geben kann, die den gleichen Erwartungswert ergeben.
Die Standardabweichung \( S(x) \) gibt zusätzliche Informationen über die Streuung der Ergebnisse und hilft so, \( n \) und \( p \) eindeutig zu bestimmen.
Ja, Brüche sind oft genauer und vermeiden Rundungsfehler. Zum Beispiel ist es besser, \( p = \frac{1}{6} \) anstelle von \( 0,1667 \) zu schreiben, da der Wert dann exakter bleibt.
1. \( n \) nicht als ganze Zahl zu schreiben.
2. Dezimalwerte von \( p \) und \( q \) zu runden, bevor alle Rechnungen abgeschlossen sind.
3. Die Formel für die Standardabweichung nicht korrekt anzuwenden, insbesondere bei der Quadratwurzel.
4. Umformungsschritte auszulassen, was zu Verständnisproblemen führen kann.
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