Nullstelle nachweisen
In diesem kurzen Beitrag erkläre ich dir, wie man rechnerisch sehr einfach nachweisen kann, dass ein gegebener x-Wert eine Nullstelle einer Funktion ist.
1.) \(f(x)=2x^3-2x^2+3x-3 \qquad x=1\)
2.) \(g(x)= \sqrt{x^2-4}\qquad x=2\)
3.) \(h(x) =(x^2-4) \cdot e^{4x-5} \qquad x=-2\) Dies ist die Aufgabe aus dem Youtubevideo!
Vorgehen:
Wenn deine Aufgabe darin besteht rechnerisch nachzuweisen, dass ein gegebener x-Wert eine Nullstelle ist, dann setzt du den gegegeben x-Wert für jedes x in die Funktion ein. Dadurch entsteht eine Rechnung, die du ausrechnen musst und dessen Ergebnis du dann deuten kannst, denn es gilt:
Ergebnis \(=0 \qquad \rightarrow\) x-Wert ist Nullstelle, die du damit nachgewiesen hast!
Ergebnis \( \neq 0 \qquad \rightarrow\) x-Wert ist keine Nullstelle
1.) \(f(x)=2x^3-2x^2+3x-3 \qquad x=1\)
\(f(1)=2 \cdot 1^3-2 \cdot 1^2+3 \cdot 1-3 = 2-2+3-3=0\)
Deutung: Da das Ergebnis \(=0\) ist, haben wir so nachgewiesen, dass \(x=1\) eine Nullstelle von \(f(x)\) ist!
2.) \(g(x)= \sqrt{x^2-4}\qquad x=2\)
\(g(2)= \sqrt{2^2-4}= \sqrt{4-4}= \sqrt{0}=0\)
Deutung: Da das Ergebnis \(=0\) ist, haben wir so nachgewiesen, dass \(x=2\) eine Nullstelle von \(g(x)\) ist!
3.) \(h(x) =(x^2-4) \cdot e^{4x-5} \qquad x=-2\)
\(h(-2) =((-2)^2-4) \cdot e^{4 \cdot (-2)-5}=(4-4) \cdot e^{-8-5}=0 \cdot e^{-13}=0 \)
Deutung: Da das Ergebnis \(=0\) ist, haben wir so nachgewiesen, dass \(x=-2\) eine Nullstelle von \(h(x)\) ist!
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