Parameterform in Normalengleichung

Heute schauen wir uns anhand zweier Beispiele an, wie du eine gegebene Parameterform einer Ebene in die die zugehörige Normalengleichung umwandelst!

1.) \(E:\ \vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + s \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}\)

2.) \(F: \ \vec{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + s \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}\) Dies ist die Aufgabe aus dem Video!

1.) Gegebene Parameterform der Ebene:
\[E:\ \vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + s \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}\]

Schritt 1: Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) berechnen (Du kannst selbstverständlich auch den “Trick” für das Kreuzprodukt benutzen siehe Video):
\[ \vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}\]

\[\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix}
-1 \cdot (-1) – 3 \cdot 2 \\
3 \cdot 1 – 2 \cdot (-1) \\
2 \cdot 2 – (-1) \cdot 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 – 6 \\
3 + 2 \\
4 + 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-5 \\
5 \\
5
\end{bmatrix}\]

Schritt 2: Ebene in Normalengleichung umwandeln, in dem der Ortsvektor \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) und der gerade berechnete Normalenvektor in \((\vec{x} – \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0\)
eingesetzt werden:

\[
(\vec{x} – \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}) \cdot \begin{bmatrix} -5 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 0
\]

2.) Gegebene Parameterform der Ebene:
\[ F:\ \vec{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + s \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}
\]

Schritt 1: Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) berechnen (Du kannst selbstverständlich auch den “Trick” für das Kreuzprodukt benutzen siehe Video):
\[
\vec{u} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}
\]

\[
\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix}
2 \cdot (-1) – 3 \cdot 2 \\
3 \cdot 0 – (-1) \cdot (-1) \\
(-1) \cdot 2 – 2 \cdot 0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-2 – 6 \\
0 – 1 \\
-2 – 0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-8 \\
-1 \\
-2
\end{bmatrix}
\]

Schritt 2: Ebene in Normalengleichung umwandeln, in dem der Ortsvektor \(\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\) und der gerade berechnete Normalenvektor in \((\vec{x} – \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0\)
eingesetzt werden:
\[
(\vec{x} – \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}) \cdot \begin{bmatrix} -8 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix} = 0
\]