pq-Formel ohne x
Inhaltsübersicht:
Das Vorgehen bei "pq-Formel ohne x"
- 1. Schritt: Forme die Gleichung zu \(x^2+q=0\) um
- 2. Schritt: Ergänze die Gleichung um \(0x\) und erhalte die Form \(x^2+0x+q=0\)
- 3. Schritt: Lese nun p und q ab.
- 4. Schritt: Setze die Zahlen für p und q in die Formel ein.
- 5. Schritt: Berechne jetzt (falls möglich) die Lösungen.
- 6. Schritt: Schreibe die Lösungsmenge auf.
Gegeben ist die Gleichung \(2x^2=18\).
1. Schritt: Um die Gleichung \(2x^2=18\) mithilfe der pq-Formel zu lösen, müssen wir sie zunächst nach Null umformen, indem wir auf beiden Seiten 18 subtrahieren:
\begin{align*} 2x^2 &= 18 \quad \vert -18 \\
2x^2 – 18 &= 0 \end{align*}
Als nächstes müssen wir normieren, indem wir durch den Koeffizienten von \(x^2\), also durch 2, teilen:
\begin{align*} 2x^2 – 18 &= 0 \quad \vert :2 \\
x^2 – 9 &= 0 \end{align*}
2. Schritt: Jetzt können wir die Gleichung mit \(0x\) ergänzen:
\begin{align*} x^2+0x-9 &= 0 \end{align*}
3. Schritt: Jetzt können wir p und q ablesen, wobei p=0 und q=-9.
4. Schritt: Dann setzen wir p und q in die pq-Formel ein:
\begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}\\
&= -\frac{0}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{0}{2}\right)^2 -\left(-9\right)}\end{align*}
5. Schritt: Jetzt berechnen wir die Lösungen
\begin{align*} &= 0 \pm \sqrt{0 + 9}\\
&= 0 \pm \sqrt{ 9}\\
&= 0 \pm 3\end{align*}
somit ist \(x_1 = -3 \text{ und } x_2 = 3 \)
6. Schritt: Die Lösungsmenge lautet \(\mathbb{L} = {\{-3,3\}}.\)
Beispiele pq-Formel bei quadratischen Gleichungen ohne x
Beispiel 1:
Gegeben ist die Gleichung \(x^2+9=0\). Da die Gleichung \(x^2+9=0\) bereits nach Null aufgelöst und normiert ist, können wir direkt mit Schritt 2 fortfahren:
2. Schritt: Gleichung mit \(0x\) ergänzen:
\begin{align*} x^2+0x+9 &= 0 \end{align*}
3. Schritt: Jetzt können wir p und q ablesen, wobei p=0 und q=9.
4. Schritt: Dann setzen wir p und q in die pq-Formel ein:
\begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}\\
&= -\frac{0}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{0}{2}\right)^2 – 9}\end{align*}
5. Schritt: Jetzt berechnen wir die Lösungen:
\begin{align*} &= 0 \pm \sqrt{0 – 9}\\
&= 0 \pm \sqrt{ -9}\ \end{align*}
Da die Wurzel aus einer negativen Zahl in den reellen Zahlen nicht definiert ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen.
6. Schritt: Die Lösungsmenge lautet in diesem Fall \(\mathbb{L} = {\{ \}}.\)
Beispiel 2:
Da die Gleichung \(x^2-25=0\) bereits nach Null aufgelöst und normiert ist, können wir direkt mit Schritt 2 fortfahren:
2. Schritt: Gleichung mit \(0x\) ergänzen:
\begin{align*} x^2+0x-25 &= 0 \end{align*}
3. Schritt: Jetzt können wir p und q ablesen, wobei p=0 und q=-25.
4. Schritt: Dann setzen wir p und q in die pq-Formel ein:
\begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}\\
&= -\frac{0}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{0}{2}\right)^2 -(-25)}\end{align*}
5. Schritt: Jetzt berechnen wir die Lösungen:
\begin{align*} &= 0 \pm \sqrt{0 + 25}\\
&= 0 \pm \sqrt{25}\\
&= 0 \pm 5\end{align*}
somit ist \(x_1 = -5 \text{ und } x_2 = 5 \)
6. Schritt: Die Lösungsmenge lautet \(\mathbb{L} = {\{-5,5\}}.\)
Beispiel 3:
Gegeben ist die Gleichung \(3x^3=48\)
1. Schritt: Um die Gleichung \(3x^3=48\) mithilfe der pq-Formel zu lösen, müssen wir sie zunächst nach Null umformen, indem wir auf beiden Seiten 48 subtrahieren: \begin{align*} 3x^2 &= 48 \quad \vert -48 \\ 3x^2 – 48 &= 0 \end{align*}
Als nächstes müssen wir normieren, indem wir durch den Koeffizienten von \(x^2\), also durch 3, teilen:
\begin{align*} 3x^2 – 48 &= 0 \quad \vert :3 \\ x^2 – 16 &= 0 \end{align*}
2. Schritt: Jetzt können wir die Gleichung mit \(0x\) ergänzen:
\begin{align*} x^2+0x-16 &= 0 \end{align*}
3. Schritt: Jetzt können wir p und q ablesen, wobei p=0 und q=-16.
4. Schritt: Dann setzen wir p und q in die pq-Formel ein:
\begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}\\ &= -\frac{0}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{0}{2}\right)^2 -\left(-16\right)}\end{align*}
5. Schritt: Jetzt berechnen wir die Lösungen
\begin{align*} &= 0 \pm \sqrt{0 + 16}\\ &= 0 \pm \sqrt{ 16}\\ &= 0 \pm 4\end{align*}
somit ist \(x_1 = -4 \text{ und } x_2 =4 \)
6. Schritt: Die Lösungsmenge lautet \(\mathbb{L} = {\{-4,4\}}.\)
Besseres Vorgehen (Umformen nach x):
Du weißt vielleicht, dass die pq-Formel bei quadratischen Gleichungen der Form \(x^2+px+q=0\) besonders sinnvoll ist. Die Beispiele dieses Beitrags haben dir aber auch gezeigt, dass sie sich auch auf andere Formen von Gleichungen anwenden lassen, obwohl dies recht umständlich ist. Also möchte ich dir zeigen, wie du die Gleichungen, die kein lineares Glied (also kein x) besitzen, besser lösen kannst:
Beispiel 1:
Gegeben ist die Gleichung: \(x^2-81=0\)
Um die Gleichung ohne die pq-Formel zu lösen, können wir sie durch Addition von 81 auf beiden Seiten umformen:
\begin{align*} x^2 &= 81 \end{align*}
Dann können wir die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, um x zu isolieren bzw. zu berechnen:
\begin{align*} x &= \pm \sqrt{81} \end{align*}
Da die Wurzel aus 81 gleich 9 ist, lautet die Lösung:
\begin{align*} x &= \pm 9 \end{align*}
Die Lösungsmenge ist somit \(\mathbb{L} = {\{-9,9\}}.\)
Wie du siehst isolieren wir bei einer solchen Gleichung durch Gegenrechnung das \(x^2\) und können dann, wenn möglich, die Wurzel ziehen.
Beispiel 2:
Gegeben ist die Gleichung \(3x^2+27=0\)
Wir ziehen 27 von beiden Seiten ab, um die Gleichung nach \(x^2\) umzuformen:
\begin{align*} 3x^2 + 27 &= 0 \quad \vert -27 \\
3x^2 &= -27 \end{align*}
Wir teilen nun durch 3, um die Gleichung zu normieren:
\begin{align*} 3x^2 &= -27 \quad \vert :3 \\
x^2 &= -9 \end{align*}
Da wir nun versuchen würden die Wurzel zu ziehen und da die Wurzel aus einer negativen Zahl in den reellen Zahlen nicht definiert ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen.
Die Lösungsmenge lautet in diesem also Fall \(\mathbb{L} = {\{ \}}.\)
Fazit (pq-Formel ohne x):
Wie du siehst lässt sich die pq-Formel also auch bei quadratischen Gleichungen anwenden, die kein lineares Glied besitzen. Sinnvoll ist sie allerdings besonders bei Gleichungen, die die Form \(x^2+px+q=0\) besitzen. Wie das funktioniert kannst du hier nachlesen!
