Senkrechte Gerade zu einer gegebenen Geraden bestimmen
Inhaltsverzeichnis
– Was ist eine senkrechte Gerade?
– Beispiel 1: Bestimmung einer senkrechten Gerade (ausführlich)
– Beispiel 2: Weitere Beispiele zur Vertiefung
– Zusammenfassung
– FAQ – Häufig gestellte Fragen
Was ist eine senkrechte Gerade?
In der Vektorrechnung geht es oft darum, eine Gerade zu finden, die eine andere Gerade schneidet.
In diesem speziellen Fall suchen wir eine Gerade h, die die gegebene Gerade g schneidet und zudem
senkrecht zu dieser steht. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.
Wir nutzen diese Eigenschaft, um die Richtungsvektoren der beiden Geraden so zu bestimmen, dass sie orthogonal sind.
Beispiel 1: Bestimmung einer senkrechten Gerade (ausführlich)
Gegeben: Die Gerade \( g \) in der vollen Vektorschreibweise:
\[
g: \vec{x} = \vec{p}_1 + s \cdot \vec{r}_1
\]
mit
\[
\vec{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \quad \text{(Ortsvektor von \( g \))} \quad \text{und} \quad \vec{r}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \text{(Richtungsvektor von \( g \))}.
\]
Somit ist die gegebene Geradengleichung:
\[
g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
\]
Gesucht: Eine Gerade \( h \), die senkrecht zu \( g \) verläuft. Die Gerade \( h \) soll die Form
\[
h: \vec{x} = \vec{p}_2 + t \cdot \vec{r}_2
\]
haben, wobei \( \vec{p}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \) ein Punkt auf \( h \) ist (da dies ein gemeinsamer Punkt der beiden Geraden ist, ist dies der Schnittpunkt), und \( \vec{r}_2 \) ein Richtungsvektor ist, der senkrecht zu \( \vec{r}_1 \) steht, denn wenn die Richtungsvektoren senkrecht zueinander sind (90°-Winkel), dann sind die kompletten Geraden senkrecht, also orthogonal zueinander!
Orthogonalitätsbedingung: Für die Richtungsvektoren \( \vec{r}_1 \) und \( \vec{r}_2 \) muss gelten:
\[
\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0
\]
Das ergibt:
\[
\begin{align*}
\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= (-1) \cdot x + 2 \cdot y + 3 \cdot z = 0 \\
– x + 2y + 3z &= 0 \quad \vert \text{Orthogonalitätsbedingung.}
\end{align*}
\]
Um \( \vec{r}_2 \) zu finden, setzen wir \( y = 1 \) und \( z = 1 \) und bestimmen \( x \):
\[
\begin{align*}
– x + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 &= 0 \quad \vert \text{Ersatz von } y = 1 \text{ und } z = 1 \\
– x + 2 + 3 &= 0 \quad \vert \text{Berechnung} \\
– x + 5 &= 0 \quad \vert \text{Vereinfachung} \\
– x &= -5 \quad \vert \text{Umstellung nach } x \\
x &= 5 \quad \vert \text{Lösung für } x.
\end{align*}
\]
Der Richtungsvektor der gesuchten Geraden \( h \) lautet also:
\[
\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
Bestimmung der Geradengleichung: Die allgemeine Geradengleichung von \( h \) lautet:
\[
h: \vec{x} = \vec{p}_2 + t \cdot \vec{r}_2
\]
Dabei ist \( \vec{p}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \) ein Punkt auf \( h \).
Die Geradengleichung von \( h \) lautet dann:
\[
h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
Ergebnis: Die Gerade \( h \) ist senkrecht zu \( g \) und hat die oben angegebene Gleichung.
Beispiel 2: Weitere Beispiele zur Vertiefung
Gegeben: Die Gerade \( g \) :\[
g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Gesucht: Eine Gerade \( h \), die senkrecht zu \( g \) verläuft. Die Gerade \( h \) soll die Form
\[
h: \vec{x} = \vec{p}_2 + t \cdot \vec{r}_2
\]
haben, wobei \( \vec{p}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \) ein Punkt auf \( h \) ist (da dies ein gemeinsamer Punkt der beiden Geraden ist), und \( \vec{r}_2 \) ein Richtungsvektor ist, der senkrecht zu \( \vec{r}_1 \) steht.
Orthogonalitätsbedingung: Für die Richtungsvektoren \( \vec{r}_1 \) und \( \vec{r}_2 \) muss gelten:
\[
\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0
\]
Das ergibt:
\[
\begin{align*}
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= 2 \cdot x + 1 \cdot y – 4 \cdot z = 0 \\
2x + y – 4z &= 0 \quad \vert \text{Orthogonalitätsbedingung.}
\end{align*}
\]
Um \( \vec{r}_2 \) zu finden, setzen wir \( y = 2 \) und \( z = 1 \) und bestimmen \( x \):
\[
\begin{align*}
2x + 2 – 4 \cdot 1 &= 0 \quad \vert \text{Ersatz von } y = 2 \text{ und } z = 1 \\
2x + 2 – 4 &= 0 \quad \vert \text{Berechnung} \\
2x – 2 &= 0 \quad \vert \text{Vereinfachung} \\
2x &= 2 \quad \vert \text{Umstellung nach } x \\
x &= 1 \quad \vert \text{Lösung für } x.
\end{align*}
\]
Der Richtungsvektor der gesuchten Geraden \( h \) lautet also:
\[
\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
Bestimmung der Geradengleichung:\[
h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
weiteres Beispiel:
Gegeben: Die Gerade \( g \):
\[
g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Gesucht: Eine Gerade \( h \), die senkrecht zu \( g \) verläuft. Die Gerade \( h \) soll die Form
\[
h: \vec{x} = \vec{p}_2 + t \cdot \vec{r}_2
\]
haben, wobei \( \vec{p}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \) ein Punkt auf \( h \) ist (da dies ein gemeinsamer Punkt der beiden Geraden ist), und \( \vec{r}_2 \) ein Richtungsvektor ist, der senkrecht zu \( \vec{r}_1 \) steht.
Orthogonalitätsbedingung: Für die Richtungsvektoren \( \vec{r}_1 \) und \( \vec{r}_2 \) muss gelten:
\[
\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0
\]
Das ergibt:
\[
\begin{align*}
\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= (-3) \cdot x + 5 \cdot y + 2 \cdot z = 0 \\
-3x + 5y + 2z &= 0 \quad \vert \text{Orthogonalitätsbedingung.}
\end{align*}
\]
Um \( \vec{r}_2 \) zu finden, setzen wir \( y = 1 \) und \( z = 1 \) und bestimmen \( x \):
\[
\begin{align*}
-3x + 5 \cdot 1 + 2 \cdot 1 &= 0 \quad \vert \text{Ersatz von } y = 1 \text{ und } z = 1 \\
-3x + 5 + 2 &= 0 \quad \vert \text{Berechnung} \\
-3x + 7 &= 0 \quad \vert \text{Vereinfachung} \\
-3x &= -7 \quad \vert \text{Umstellung nach } x \\
x &= \frac{7}{3} \quad \vert \text{Lösung für } x.
\end{align*}
\]
Der Richtungsvektor der gesuchten Geraden \( h \) lautet also:
\[
\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} \frac{7}{3} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
Bestimmung der Geradengleichung: \[
h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} \frac{7}{3} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
Zusammenfassung
Orthogonalität ist ein fundamentaler Begriff in der Mathematik, insbesondere in der linearen Algebra und Geometrie. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt. Dies bedeutet, dass sie senkrecht zueinander stehen. Um orthogonale Vektoren zu berechnen, setzt man das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null und löst die resultierende Gleichung nach den Unbekannten auf. In den Beispielen haben wir gezeigt, wie man orthogonale Vektoren berechnet und wie man mit ihnen arbeitet, um die Orthogonalität zwischen Geraden zu überprüfen.
FAQ: Häufige Fragen zur Binomialverteilung
Eine senkrechte Gerade ist eine Gerade, die einen rechten Winkel (90°) mit einer anderen gegebenen Geraden bildet. Zwei Vektoren sind genau dann senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt (auch Punktprodukt genannt) null ergibt. Das bedeutet, dass die Richtungsvektoren der beiden Geraden senkrecht zueinander stehen.
Um eine Gerade zu finden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft, benötigt man zwei Dinge:
- Ein Punkt auf der neuen Gerade (der Punkt, an dem die beiden Geraden sich schneiden, wird als gemeinsamer Punkt genutzt).
- Einen Richtungsvektor, der senkrecht zum Richtungsvektor der gegebenen Geraden steht.
Die Orthogonalitätsbedingung besagt, dass zwei Vektoren \( \vec{r}_1 \) und \( \vec{r}_2 \) senkrecht zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt:
\[
\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0
\]
Um den Richtungsvektor einer senkrechten Geraden zu finden, muss der Richtungsvektor der neuen Geraden senkrecht zum Richtungsvektor der gegebenen Geraden sein. Dies wird erreicht, indem man das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren null setzt und die resultierende Gleichung löst.
Die Geradengleichung der senkrechten Geraden wird in der Form \( \vec{x} = \vec{p}_2 + t \cdot \vec{r}_2 \) angegeben, wobei \( \vec{p}_2 \) ein Punkt auf der neuen Geraden und \( \vec{r}_2 \) der Richtungsvektor ist, der senkrecht zum Richtungsvektor der gegebenen Geraden steht.
