Nullstellen: "Andere Funktion" mal e-Funktion

Heute geht es um die Nullstellenberechnen von e-Funktionen, wenn diese mit einer anderen (meist ganzrationalen) Funktion multipliziert werden. Dieser Funktionsaufbau ist wohl der häufigste in der Oberstufe und daher besonders wichtig!

1.) \(f(x)=(x^2-25)\cdot e^{2x-1}\)
2.) \(g(x)=(x^4+2x^3)\cdot e^{3x^2-1}\)
3.) \(h(x) = (5x-10)\cdot e^{3x+8}\) Dies ist die Aufgabe aus dem Youtubevideo!

1.) Als erstes geht es um die Funktion \(f(x)=(x^2-25)\cdot e^{2x-1}\). Die Nullstellen einer Funktion sind die Werte von \(x\), für die \(f(x) = 0\) gilt. Wir setzen daher \(f(x)\) gleich null und lösen nach \(x\) auf:\begin{align*}
f(x) = (x^2-25) \cdot e^{2x-1} &= 0 \quad |Svnp\\
x^2-25 &= 0 \quad |+25 \quad \text{(da } e^{2x-1} \neq 0 \text{ für alle } x) \\
x^2 &= 25 \quad |\sqrt \\\\
x_1 &=5 \quad x_2=-5
\end{align*}

Das bedeutet, dass die Funktion \(f(x)\) zwei Nullstellen hat, nämlich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\).

2.) Als nächstes geht es um die Funktion \(g(x)=(x^4+2x^3)\cdot e^{3x^2-1}\). Die Nullstellen einer Funktion sind die Werte von \(x\), für die \(g(x) = 0\) gilt. Wir setzen daher \(g(x)\) gleich null und lösen nach \(x\) auf:

\[
\begin{align*}
g(x) = (x^4+2x^3)\cdot e^{3x^2-1} &= 0 \quad |Svnp \\
x^4+2x^3 &= 0 \quad |() \quad \text{(da } e^{3x^2-1} \neq 0 \text{ für alle } x) \\
x^3(x+2) &= 0 \quad |Svnp
\end{align*}
\]Daraus erhalten wir zwei mögliche Lösungen bzw. Gleichungen:

1. \(x^3 = 0 \quad | \sqrt[3]{} \Rightarrow x = 0\)
2. \(x+2 = 0 \quad |-2 \quad \Rightarrow x = -2\)

Das bedeutet, dass die Funktion \(g(x)\) zwei Nullstellen hat, nämlich \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -2\).

3.) Jetzt geht es um die Funktion \(h(x) = (5x-10)\cdot e^{3x+8}\). Die Nullstellen einer Funktion sind die Werte von \(x\), für die \(h(x) = 0\) gilt. Wir setzen daher \(h(x)\) gleich null und lösen nach \(x\) auf:

\[
\begin{align*}
h(x) = (5x-10)\cdot e^{3x+8} &= 0 \quad |Svnp \\
5x-10 &= 0\quad |+10 \quad \text{(da } e^{3x+8} \neq 0 \text{ für alle } x) \\
5x &= 10 \quad |\div 5 \\
x &= 2
\end{align*}
\]

Das bedeutet, dass die Funktion \(h(x)\) eine Nullstelle hat, nämlich \(x = 2\).

https://www.youtube.com/watch?v=IRZfhr-pLVQ