Ableitung Basics - elementare Ableitungsregeln
In diesem Beitrag schauen wir uns die elementaren Ableitungsregeln an. Wir sprechen also folglich über die absoluten Basics zu diesem Thema. Sie sind besonders wichtige, da sie in der Oberstufe häufig innerhalb der Kurvendiskussion verwendet werden und da weitere, kompliziertere Regeln zum Thema Ableitung hierdrauf aufbauen!
Die Potenzregel
Die wichtigste Ableitungsregel ist wohl die Potenzregel, die es ermöglicht Potenzfunktionen einfach abzuleiten. Diese Regel zeigt also, wie man die Ableitung einer Funktion der Form \(f(x) = x^n\) berechnet, wobei \(n\) eine Konstante (also eine reine Zahl) ist. Sie lautet:
Das bedeutet, dass man den Exponenten \(n\) (=Hochzahl) als konstanten Faktor vor die ursprüngliche Potenz \(x^n\) schreibt und gleichzeitig den Exponenten um eins verringert um so den neuen Exponenten zu erhalten.
Beispiel
Betrachten wir nun die Funktion \(f(x) = x^4\). Wir möchten die Ableitung \(f'(x)\) berechnen, indem wir die Potenzregel anwenden.
Nach dieser gilt: \[ f'(x) = 4 \cdot x^{4-1} \]
Jetzt können wir noch den Exponenten vereinfachen und erhalten die Ableitung: \[ f'(x) = 4x^3 \]
Die Faktorregel
Die Faktorregel erleichtert die Ableitung von Funktionen, die als Produkt (also als Multiplikation) aus einer konstanten Zahl und einer anderen Funktion geschrieben werden. Die Faktorregel lautet wie folgt: Wenn \(u(x)\) eine Funktion ist und \(c\) eine Konstante (reine Zahl) ist, dann ist die Ableitung des Produkts \(c \cdot u(x)\) gegeben durch:
Mit anderen Worten, um die Ableitung eines Produkts aus einer konstanten Zahl \(c\) und einer Funktion \(u(x)\) zu berechnen, multiplizieren wir einfach die Ableitung von \(u(x)\) mit der konstanten Zahl \(c\).
Beispiel
Betrachten wir die Funktion \(g(x) = 2x^3\). Wir möchten die Ableitung \(g'(x)\) unter Verwendung der Faktorregel berechnen. Nach der Faktorregel gilt:
\[ g'(x) = 2 \cdot u'(x)\]
Wenden wir nun die Potenzregel auf \(u(x)=x^3\) an:
\[ u'(x)= 3x^{3-1} = 3x^2 \]
Setzen wir dies in die Faktorregel ein und erhalten dann die Ableitung:
\[g'(x) = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2\]
Die Summen- bzw. Differenzregel
Neben der Potenz- und Faktorregel gibt es weitere wichtige Ableitungsregeln, wie die Summen- und Differenzregel. Die Summenregel lautet wie folgt: Wenn \(u(x)\) und \(v(x)\) Funktionen sind, dann ist die Ableitung der Summe \(u(x) + v(x)\) gegeben durch:
Mit anderen Worten, um die Ableitung einer Summe von Funktionen zu berechnen, addieren wir einfach die Ableitungen der einzelnen Funktionen.
Die Differenzregel lautet ähnlich: Wenn \(u(x)\) und \(v(x)\) Funktionen sind, dann ist die Ableitung der Differenz \(u(x) – v(x)\) gegeben durch:
\[ f(x)=u(x)-v(x) \qquad f'(x)=u'(x)-v'(x)\]
Hier ziehen wir die Ableitung von \(v(x)\) von der Ableitung von \(u(x)\) ab, um die Ableitung der Differenz zu erhalten.
Beispiel
Betrachten wir die Funktion \(h(x) = 3x^2 + 5x\). Wir möchten die Ableitung \(h'(x)\) unter Verwendung der Summen- und Differenzregel berechnen. Wenden wir die Potenzregel und Faktorregel auf \(u(x)=3x^2\) und \(v(x)=5x\) an (ähnlich zu vorherigen Beispielen):
\[u'(x) = 6x, \quad v'(x) = 5\]
Setzen wir diese Ergebnisse in die Summenregel ein:
\[h'(x) = 6x + 5 \]
Das ist die Ableitung der Funktion \(h(x) = 3x^2 + 5x\) unter Verwendung der Summen- und Differenzregel.
Die Konstantenregel
Neben den bereits besprochenen Ableitungsregeln gibt es noch eine weitere wichtige Regel: die Konstantenregel. Diese Regel beschreibt, wie die Ableitung einer Konstanten, also einer reinen Zahl, funktioniert. Die Konstantenregel lautet einfach:
Wenn \(c\) eine Konstante (reine Zahl) ist, dann ist die Ableitung der konstanten Funktion \(f(x) = c\) gleich Null:
Beispiel
Betrachten wir die Funktion \(k(x) = 9\). Wir möchten die Ableitung \(k'(x)\) mithilfe der Konstantenregel bestimmen. Nach der Konstantenregel gilt:
\[k'(x) = 0\]
Lösung der Zuschaueraufgabe (Youtube)
\begin{align*} h(x) &= 2x^3 +x^2 -x + 1\\
h'(x) &= 2 \cdot 3 \cdot x^{3-1} + 2 \cdot x^{2-1} -1 \cdot x^{1-1} + 0\\
&= 6 \cdot x^2 + 2x^1-1 \cdot x^0\\
&= 6x^2+2x-1 \end{align*}
Kamst du auf die richtige Lösung? Schreibe mir gerne auf Youtube einen Kommentar! https://youtu.be/8yq6P856Kvc
Tipps aus der Praxis
Wenn du eine ganzrationale Funktion ableiten musst, dann teile diese (aufgrund der Summen- bzw. Differenzregel) in einzelne “Päckchen”. Leite jedes Päckchen nach dem Muster “aktueller Exponent (Hochzahl) mit der Zahl, die davor steht, mal nehmen. Dahinter schreibst du die Variable und ziehst im aktuellen Exponent eins ab um den neuen Exponenten zu erhalten”. Merke dir außerdem “Zahl mal x ist abgeleitet nur noch die Zahl, die vor dem x steht” und die Ableitung einer reinen Zahl ist Null. Damit kannst du jede ganzrationale Funktion recht schnell und korrekt ableiten!
Beispiel:
\begin{align*} f(x) &=x^3-4x^2+5x-1\\
&=1 \cdot x^3-4 \cdot x^2+5\cdot x-1 \\\\
f'(x)&=1 \cdot 3 \cdot x^{3-1} – 4 \cdot 2 \cdot x^{2-1} +5 \\
&=3x^2-8x+5\end{align*}
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FAQ - Elementare Ableitungsregeln
Elementare Ableitungsregeln sind grundlegende mathematische Regeln, die verwendet werden, um die Ableitungen von Funktionen zu berechnen. Sie bieten einfache und systematische Methoden, um die Veränderungsrate von Funktionen zu bestimmen.
Die Potenzregel besagt, wie man die Ableitung einer Potenzfunktion berechnet, wobei eine Konstante ist. Die Ableitung ist . Man multipliziert den Exponenten mit der ursprünglichen Potenz und verringert den Exponenten um eins.
Die Faktorregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts aus einer konstanten Zahl und einer Funktion gleich mal die Ableitung von ist. Das bedeutet, .
Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Summe zweier Funktionen und gleich der Summe der Ableitungen ist: .
Die Differenzregel besagt, dass die Ableitung einer Differenz zweier Funktionen und gleich der Differenz der Ableitungen ist: .
Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer konstanten Funktion immer null ist: . Die Steigung einer horizontalen Linie ändert sich nicht, daher ist die Ableitung null.
Diese elementaren Ableitungsregeln sind grundlegend für die Analyse von Funktionen in der Mathematik. Sie ermöglichen es, Ableitungen von komplexen Funktionen auf einfache Weise zu bestimmen. Diese Regeln dienen als Grundlage für weiterführende Ableitungsregeln und haben breite Anwendungen in der Wissenschaft, Technik und Wirtschaft.
Ja, diese Regeln können miteinander kombiniert werden, um die Ableitung komplexerer Funktionen zu bestimmen. Durch geschickte Anwendung dieser Regeln können Ableitungen von Funktionen hergeleitet werden, die aus mehreren Termen oder Faktoren bestehen.
Ja, es gibt noch weitere elementare Ableitungsregeln, wie die Produktregel, Quotientenregel und die Kettenregel. Diese Regeln erweitern die Möglichkeiten zur Berechnung von Ableitungen und sind in komplexeren Ableitungsproblemen von großer Bedeutung.
Fazit
Diese elementaren Ableitungsregeln bilden das Fundament für komplexere Ableitungsregeln und haben weite Anwendungsbereiche in der Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaften und vielen anderen Disziplinen. Sie helfen uns, den Steigungsverlauf von Funktionen zu verstehen, ihre Extremstellen zu identifizieren und die Dynamik von Veränderungen zu beschreiben.
