Brüche umwandeln, ableiten und vereinfachen

In diesem Beitrag schauen wir uns an, wie du recht einfach Brüche mit der Variablen im Nenner ableitest. Hierzu wandeln wir die jeweilige Funktion zunächst in die Potenzschreibweise um, bilden dann die erste Ableitung und vereinfachen diesen Ausdruck abschließend.

Inhalt:

– Einführungsbeispiel
– weitere Beispiele
– Lösung der Aufgabe aus dem Youtube-Video

Einführungsbeispiel

Gegebene Funktion: Die Funktion lautet \(f(x) = \frac{1}{x^5}\). \begin{align*} \text{Schritt 1:} & \quad \text{Potenzregel anwenden um die Potenzschreibweise zu erreichen:} \\
& \quad f(x) = \frac{1}{x^5} = x^{-5}. \\
\text{Schritt 2:} & \quad \text{Ableitung berechnen: Wir wenden die Potenzregel auf } x^{-5} \text{ an:} \\
& \quad f'(x) = -5 \cdot x^{-5-1} = -5 \cdot x^{-6}. \\
\text{Schritt 3:} & \quad \text{Vereinfachung der Ableitung:} \\
& \quad f'(x) = -\frac{5}{x^6}. \\
\end{align*}

Weitere Beispiele

\begin{align*}
&1. \quad && f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3} && \text{wird zu} && f'(x) = -3 \cdot x^{-4} = -\frac{3}{x^4}. \\
&2. \quad && g(x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = x^{-\frac{2}{3}} && \text{wird zu} && g'(x) = -\frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{5}{3}}. \\
&3. \quad && h(x) = \frac{1}{x^{-4}} = x^4 && \text{wird zu} && h'(x) = 4 \cdot x^{3}. \\
&4. \quad && j(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} && \text{wird zu} && j'(x) = -2 \cdot x^{-3} = -\frac{2}{x^3}. \\
&5. \quad && k(x) = \frac{1}{x^{-5}} = x^5 && \text{wird zu} && k'(x) = 5 \cdot x^{4}.
\end{align*}

https://youtu.be/h_2nMaJGURw

Lösung

\begin{align*} h(x) &= \frac{6}{x^5}\\
&= 6 \cdot x^{-5}\\
h'(x)&= 6 \cdot (-5) \cdot x^{-5-1}\\
&= -30 \cdot x^{-6} \\
&= -30 \cdot \frac{1}{x^6} \\ &=\ – \frac{30}{x^6} \end{align*}

Kamst du auf die richtige Lösung? Schreibe mir gerne auf Youtube einen Kommentar! https://youtu.be/h_2nMaJGURw