Brüche umwandeln und ableiten

In diesem kleinen Beitrag schauen wir uns an, wie du ganz einfach Brüche mit der Variablen im Nenner in die sogenannte Potenzschreibweise umwandelst, um sie anschließend ableiten zu können!

Inhalt:

– Einführungsbeispiel
– weitere Beispiele
– Lösung der Aufgabe aus dem Youtube-Video

Einführungsbeispiel

Wir möchten die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) ableiten. Hier ist eine ausführliche Schritt-für-Schritt Anleitung:

1. Gegebene Funktion: Die Funktion lautet \(f(x) = \frac{1}{x^2}\).
2. Potenzregel anwenden um die Potenzschreibweise zu erreichen: \(f(x) = \frac{1}{x^2}=x^{-2}\). Die Ableitung einer Potenzfunktion \(x^n\) ist \(n \cdot x^{n-1}\). In unserem Fall ist \(n = -2\), da der Exponent -2 ist.
3. Ableitung berechnen: Wir wenden die Potenzregel auf \(x^{-2}\) an:
\[ f'(x) = -2 \cdot x^{-2-1} = -2 \cdot x^{-3} \]

Die Ableitung der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) ist \(f'(x) = -2 \cdot x^{-3}\).

Weitere Beispiele

\(1.\ f(x) = \frac{1}{x^3} \text{ wird zu } f'(x) = -3x^{-4}.\\
2.\ g(x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \text{ wird zu } g'(x) = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}.\\
3.\ h(x) = \frac{1}{x^{-4}} \text{ wird zu } h'(x) = 4x^{3}.\\
4.\ j(x) = \frac{1}{x^2} \text{ wird zu } j'(x) = -2x^{-3}.\\
5.\ k(x) = \frac{1}{x^{-5}} \text{ wird zu } k'(x) = 5x^{4}.\)