Die Tangente


(1.) Was ist eine Tangente?
(2.) Die Tangente mit einer gegebenen x-Koordinate aufstellen


(1.) Was ist eine Tangente?

Eine Tangente ist eine spezielle Gerade, also ist ihre Form \( t: y=m \cdot x+b\) (alternativ: \( t: y=m \cdot x+n\) ). Sie berührt die gegebene Kurve in einem Punkt und besitzt somit die gleiche Steigung, wie die zugrundeliegende Funktion in diesem Punkt!


(2.) Die Tangente mit einer gegebenen x-Koordinate aufstellen

Schritte:
1. y-Koordinate berechnen: \(x_0\) in \(f(x)\) einsetzen und ausrechnen
2. Steigung m berechnen: \(x_0\) in \(f'(x)\) einsetzen und ausrechnen
3. y-Achsenschnitt b (bzw. n) berechnen: \(x_0,y_0\) und \(m\) in \(y=m \cdot x+b\) einsetzen und nach b auflösen
4. Tangente aufstellen: \(m\) und \(b\) in \(t:y=m \cdot x+b\) einsetzen

Patreons können sich hier den Schritteplan downloaden und ausdrucken!


Beispiel: \(f(x)=-2 \cdot x^2+5x+1\) in \(x_0=1\)

\( \begin{array}[h]{ll}
1. & f(1)=-2 \cdot 1^2+5 \cdot 1+1 = -2+5+1=4\\
& \rightarrow y_0=4\\
2. & f'(x)=-4x+5\\
& f'(1)=-4 \cdot 1+5=-4+5=1\\
& \rightarrow m=1\\
3. & 4= 1 \cdot 1+b\\
& 4=1+b \, \,\,\,\,|-1\\
& 3=b \\
4. & t:y=1 \cdot x+3
\end{array}\)


Hier geht es zu „Patreons-Only“-Inhalten:
1. Checkliste
2. Was du alles über die Tangente wissen solltest
3. Schritteplan
4. Zugang zur kompletten Lerneinheit