Koordinaten eines Punktes mit gegebenen Verbindungsvektor

In diesem Beitrag schauen wir uns an, wie du die Koordinaten eines fehlenden Punktes berechnen kannst, wenn der Verbindungsvektor und ein zweiter Punkt gegeben sind.

1.) Punkt \(B(1/-1/2)\) und Verbindungsvektor \(\vec{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}\)
2.) Punkt \(B(3/4/1)\) und Verbindungsvektor \(\vec{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}\)
3.) Verbindungsvektor \(\vec{AB} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}\) und Punkt \(A(-2, 0, 3)\) Dies ist die Aufgabe aus dem Youtubevideo!

Beispiel 1:
Gegeben: \(B(1/-1/2)\) und \(\vec{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}\)
Gleichung: \(\vec{AB} = \vec{b} – \vec{a}\)

Setze die gegebenen Werte ein: \(\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} – \vec{a}\)

Isoliere \(\vec{a}\) durch Gegenrechnung:

\(\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} – \vec{a} \qquad |-\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}= – \vec{a} \)
\(\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{bmatrix} =- \vec{a} \qquad |\cdot (-1) \)
\(\begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{bmatrix}= \vec{a} \)
\(\vec{a}=\begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{bmatrix} \)

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit \(A(-1/-3/5)\)

Beispiel 2:
Gegeben: \(B(3/4/1)\) und \(\vec{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}\)

Gleichung: \(\vec{AB} = \vec{b} – \vec{a}\)

Setze die gegebenen Werte ein: \(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} – \vec{a}\)

Isoliere \(\vec{a}\) durch Gegenrechnung:

\(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} – \vec{a} \qquad |-\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = -\vec{a}\)
\(\begin{bmatrix} -1 \\ -5 \\ 4 \end{bmatrix} = -\vec{a} \qquad |\cdot (-1)\)
\(\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -4 \end{bmatrix} = \vec{a}\)

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit \(A(1/5/-4)\).

Beispiel 3:
Gegeben: \(\vec{AB} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}\) und Punkt \(A(-2, 0, 3)\)

Gleichung: \(\vec{AB} = \vec{b} – \vec{a}\)

Setze die gegebenen Werte ein:

\(\begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \vec{b} – \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\)

Isoliere \(\vec{b}\) durch Gegenrechnung:
\(\begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \vec{b} – \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} \qquad |+ \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\)
\(\vec{b} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\)
\(\vec{b} = \begin{bmatrix} -5 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}\)

Die Koordinaten des Punktes B sind somit \(B(-5/4/3)\).

https://youtu.be/lTTVtfz3WJc