Grenzwertverhalten von ganzrationalen Funktionen

Heute habe ich ein paar Beispiele vorbereitet, die dir zeigen sollen, wie man das Grenzwertverhalten bzw. Globalverhalten von einer ganzrationale Funktion bestimmt.

1.) \(f(x)=2x^3-5x^2+3x-1\)
2.) \(g(x)=-x^4-4x^2+5x-2\)
3.) \(h(x) = 4x^4-5x+1\) Dies ist die Aufgabe aus dem Youtubevideo!

1.) Als erstes geht es um die Funktion \(f(x)=2x^3-5x^2+3x-1\)

Bei ganzrationalen Funktionen kommt es ausschließlich auf die höchste Potenz von x und dem Leitkoeffizienten an. Hier ist also ausschließlich \(2x^3\) relevant!
1. Fall: \(\lim_{{x \to +\infty}} f(x) = +\infty\)

Wir betrachten den Grenzwert, wenn \(x\) gegen \(+\infty\) geht:
\[2x^3= 2\cdot x \cdot x \cdot x= +\cdot + \cdot + \cdot +=+\]
Da der Leitkoeffizient 2 und jedes x in dieser Multiplikation positiv ist, wird der Funktionswert für \(x \to +\infty\) auch gegen \(+\infty\) gehen.

2. Fall: \(\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = -\infty\)

Wir betrachten den Grenzwert, wenn \(x\) gegen \(-\infty\) geht:
\[
2x^3 = 2 \cdot x \cdot x \cdot x = + \cdot – \cdot – \cdot – = –
\]
Da der Leitkoeffizient 2 positiv ist, aber jedes \(x\) in dieser Multiplikation negativ ist, wird der Funktionswert für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\) gehen.

2.) Als nächstes geht es um die Funktion \(g(x)=-x^4-4x^2+5x-2\)

Bei ganzrationalen Funktionen kommt es ausschließlich auf die höchste Potenz von x und dem Leitkoeffizienten an. Hier ist also ausschließlich \(-x^4\) relevant!

1. Fall: \(\lim_{{x \to +\infty}} g(x) = -\infty\)

Wir betrachten den Grenzwert, wenn \(x\) gegen \(+\infty\) geht:
\[
-x^4 = -x \cdot x \cdot x \cdot x = – 1\cdot + \cdot + \cdot + \cdot + = –
\]
Da der Leitkoeffizient -1 ist und jedes \(x\) in dieser Multiplikation positiv ist, wird der Funktionswert für \(x \to +\infty\) gegen \(-\infty\) gehen.

2. Fall: \(\lim_{{x \to -\infty}} g(x) = -\infty\)

Wir betrachten den Grenzwert, wenn \(x\) gegen \(-\infty\) geht:
\[
-x^4 = -1 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = – \cdot – \cdot – \cdot – \cdot – = –
\]
Da der Leitkoeffizient -1 ist und jedes \(x\) in dieser Multiplikation negativ ist, wird der Funktionswert für \(x \to -\infty\) ebenfalls gegen \(-\infty\) gehen.

3.) Als letztes geht es um die Funktion \(h(x) = 4x^4 – 5x + 1\).

Bei ganzrationalen Funktionen kommt es ausschließlich auf die höchste Potenz von \(x\) und dem Leitkoeffizienten an. Hier ist also ausschließlich \(4x^4\) relevant!

1. Fall: \(\lim_{{x \to +\infty}} h(x) = +\infty\)

Wir betrachten den Grenzwert, wenn \(x\) gegen \(+\infty\) geht:
\[
4x^4 = 4 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = + \cdot + \cdot + \cdot + \cdot + = +
\]
Da der Leitkoeffizient 4 ist und jedes \(x\) in dieser Multiplikation positiv ist, wird der Funktionswert für \(x \to +\infty\) ebenfalls gegen \(+\infty\) gehen.

2. Fall: \(\lim_{{x \to -\infty}} h(x) = +\infty\)

Wir betrachten den Grenzwert, wenn \(x\) gegen \(-\infty\) geht:
\[
4x^4 = 4 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = + \cdot – \cdot – \cdot – \cdot – = +
\]
Da der Leitkoeffizient 4 ist und jedes \(x\) in dieser Multiplikation negativ ist, wird der Funktionswert für \(x \to -\infty\) ebenfalls gegen \(+\infty\) gehen.