Produktregel

Die Produktregel ist ein wertvolles mathematisches Konzept zur Ableitung von Funktionen, die das Produkt zweier Funktionen sind. In diesem Artikel zeigen wir anhand von fünf Beispielen, wie die Produktregel angewendet wird, und erklären, wie sie zur Vereinfachung genutzt werden kann. Entdecken Sie die vielfältigen Anwendungen und die praktische Bedeutung dieses Konzepts in der Mathematik.

Inhalt:

1.) Schritte
2.) Beispiel 1: \(f(x) = x^2 \cdot \sin(x)\)
3.) Beispiel 2: \(f(x) = e^x \cdot \cos(x)\)
4.) Beispiel 3: \(f(x) = x^3 \cdot \ln(x)\)
5.) Beispiel 4: \(f(x) = x^4 \cdot \sqrt{x}\)
6.) Beispiel 5: \(f(x) = (2x – 1) \cdot e^x\)
7.) FAQ

Schritte:

Mit diesen Schritten kommst du bei deiner gegebenen Funktion immer zur richtigen Ableitung!
1. Identifiziere die beiden Funktionen: Zunächst identifiziere die beiden Funktionen, die miteinander multipliziert werden. Diese werden als \(u(x)\) und \(v(x)\) bezeichnet.

2. Berechne die Ableitungen: Bestimme die Ableitungen der beiden Funktionen \(u'(x)\) und \(v'(x)\).

3. Verwende die Produktregel: Die Produktregel besagt, dass die Ableitung der Funktion \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\) gleich der Summe zweier Teile ist: \(f'(x) = u’ \cdot v + u \cdot v’\).

4. Vereinfache das Ergebnis: Nachdem du die Ableitung mithilfe der Produktregel berechnet hast, kannst du das Ergebnis gegebenenfalls weiter vereinfachen, indem du gemeinsame Faktoren ausklammerst oder Terme zusammenführst. Dies führt zu einer kompakteren und übersichtlicheren Form der Ableitung.

Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion \(f(x) = x^2 \cdot \sin(x)\).

Lösung:
1. Schritt: \(u(x) = x^2\),      \(v(x) = \sin(x)\)
2. Schritt: \(u'(x) = 2x\),      \(v'(x) = \cos(x)\)
3. Schritt: \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v(x)’\)

\[f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)\]

4. Schritt: Gemeinsame Faktoren ausklammern:

\[f'(x) = x \cdot (2\sin(x) + x\cdot \cos(x))\]

Beispiel 2

Ermittle die Ableitung der Funktion \(f(x) = e^x \cdot \cos(x)\).

Lösung:
1. Schritt: \(u(x) = e^x\),      \(v(x) = \cos(x)\)
2. Schritt: \(u'(x) = e^x\),      \(v'(x) = -\sin(x)\)
3. Schritt: \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v(x)’\)

\[f'(x) = e^x \cdot \cos(x) – e^x \cdot \sin(x)\]

4. Schritt: Gemeinsame Faktoren ausklammern (in diesem Fall \(e^x\)):

\[f'(x) = e^x\cdot (\cos(x) – \sin(x))\]

Beispiel 3

Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x) = x^3 \cdot \ln(x)\).

Lösung:
1. Schritt: \(u(x) = x^3\),      \(v(x) = \ln(x)\)
2. Schritt: \(u'(x) = 3x^2\),      \(v'(x) = \frac{1}{x}\)
3. Schritt: \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v(x)’\)

\[ f'(x) = 3x^2 \cdot \ln(x) + x^3 \cdot \frac{1}{x} \\
f'(x) = 3x^2 \cdot \ln(x) + \frac{x^3}{x} \\
f'(x) = 3x^2 \cdot \ln(x) + x^2\]

4. Schritt: Gemeinsame Faktoren ausklammern (in diesem Fall \(x^2\)):

\[
f'(x) = x^2(3\ln(x) + 1)
\]

Beispiel 4

Finde die Ableitung der Funktion \(f(x) = x^4 \cdot \sqrt(x)\).

Lösung:
1. Schritt: \(u(x) = x^4\),      \(v(x) = \sqrt{x}\)
2. Schritt: \(u'(x) = 4x^3\),      \(v'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)
3. Schritt: \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v(x)’\)

\[f'(x) = 4x^3 \cdot \sqrt{x} + \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^4\\
f'(x) = 4x^3 \cdot \sqrt{x}  + \frac{1}{2} \cdot x^{3,5}\\
f'(x) = 4x^3 \cdot \sqrt{x}  + \frac{1}{2} \cdot x^{3} \cdot x^{\frac{1}{2}}\\
f'(x) = 4x^3 \cdot \sqrt{x}  + \frac{1}{2} \cdot x^{3} \cdot \sqrt{x}\\\]

4. Schritt: Zusammenfassen
\[
f'(x) =4,5 \cdot x^3 \cdot \sqrt{x}\]

Beispiel 5

Berechne die Ableitung der Funktion \(f(x) = (2x – 1) \cdot e^x\).

1. Schritt: \(u(x) = 2x – 1\),      \(v(x) = e^x\)
2. Schritt: \(u'(x) = 2\),      \(v'(x) = e^x\)
3. Schritt: \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v(x)’\)

\[f'(x) = 2 \cdot e^x + (2x – 1) \cdot e^x\]

4. Schritt: Gemeinsame Faktoren ausklammern (\(e^x\)):

\[f'(x) = e^x \cdot (2 + 2x – 1)\\
f'(x) = e^x\cdot (2x + 1)\]

FAQ

Die Produktregel ist eine mathematische Regel, die in der Differentialrechnung verwendet wird, um die Ableitung einer Funktion zu berechnen, die das Produkt zweier Funktionen ist. Sie ist eine der grundlegenden Techniken zur Berechnung von Ableitungen.

Du solltest die Produktregel verwenden, wenn du die Ableitung einer Funktion bestimmen möchtest, die aus dem Produkt zweier Funktionen besteht. Dies tritt häufig auf, wenn du in der Differentialrechnung komplexe Funktionen analysierst.

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion, welche die Form \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) besitzt, \(f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)\) ist

Die Anwendung der Produktregel erfordert vier Schritte: Identifiziere die beiden Funktionen, berechne ihre Ableitungen, verwende die Produktregel, um die Ableitung der Gesamtfunktion zu finden, und vereinfache gegebenenfalls das Ergebnis.

Ja, in unserem vorherigen Artikel haben wir fünf Beispiele zur Anwendung der Produktregel vorgestellt, die verschiedene Arten von Funktionen abdecken, von trigonometrischen Funktionen bis hin zu Exponentialfunktionen.

Die Produktregel ist besonders nützlich, wenn du Ableitungen von Funktionen berechnen musst, die aus dem Produkt zweier Funktionen bestehen, wie beispielsweise bei der Berechnung von Gesamtenergie, Wachstumsraten oder Flächeninhalten.

Ja, die Produktregel kann auf Produkte von mehr als zwei Funktionen erweitert werden, indem sie iterativ angewendet wird. Dies führt zu einer sogenannten “erweiterten Produktregel”.

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