Eine Tangente aufstellen gehört zu den wichtigsten Aufgaben der Differentialrechnung in der Oberstufe. In dieser Schritt-für-Schritt-Anleitung lernst du, wie du systematisch die Tangentengleichung berechnest – mit verständlichen Beispielen für das Abitur.
Inhaltsangabe
- ✔️ 1. Was ist eine Tangente?
- ✔️ 2. Die 4 Schritte zum Aufstellen einer Tangente
- ✔️ 3. Beispiel: Ganzrationale Funktion
- ✔️ 4. Beispiel: e-Funktion
- ✔️ 5. Beispiel: Sinus-Funktion
- ✔️ 6. Weiteres Wissenswertes
Ziel: Du kannst danach jede Tangente selbstständig berechnen.
1. Was ist eine Tangente?
Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen in einem bestimmten Punkt berührt. In diesem Berührpunkt hat die Tangente die gleiche Steigung wie der Graph.
Die Steigung der Tangente bekommst du über die Ableitung:\[m_t = f'(x_0)\]Die Tangente ist also die Gerade, die im Punkt \(x_0\) am besten an den Graphen „angepasst“ ist.
2. Die 4 Schritte zum Aufstellen einer Tangente
Das Vorgehen ist immer gleich – was du ermitteln musst ist:
- ✔️ den Punkt auf dem Graphen
- ✔️ die Steigung an dieser Stelle
- ✔️ daraus den y-Achsenschnitt \(b\)
Am Ende erhältst du immer eine Geradengleichung in der Form:
\[y = m\cdot x + b\]
Dabei bedeutet:
- ✔️ \(m\) = Steigung der Geraden
- ✔️ \(b\) = y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet)
Schritt 1: y-Koordinate berechnen
Gegeben ist meistens eine Stelle \(x_0\), z.B. \(x_0=1\,\) oder \(x_0=0\).
Setze \(x_0\) in die Funktion ein, berechne die entstehende Rechnung:
\[y_0 = f(x_0)\]
Damit hast du schon den sogenannten Berührpunkt:
\[P(x_0\mid y_0)\]
Merke: \(x_0\) ist die Stelle, \(y_0\) ist der Funktionswert an dieser Stelle.
Schritt 2: Steigung berechnen
Die Steigung der Tangente ist genau die Steigung des Graphen in der Stelle \(x_0\).
Diese ermittelst du mithilfe der Ableitung:
\[m_t = f'(x_0)\]
Dazu gehst du so vor:
- ✔️ erst ableiten → \(f'(x)\)
- ✔️ dann \(x_0\) einsetzen → \(f'(x_0)\) und ausrechnen
Merke: \(m_t\) ist die Steigung der Tangente.
Schritt 3: y-Achsenabschnitt \(b\) berechnen
Jetzt fehlt uns noch der y-Achsenschnitt, das \(b\).
Wir starten mit der Geradengleichung:\[y = m\cdot x + b\]
Setze den berechneten Berührpunkt und Steigung ein: \[y_0 = m_t\cdot x_0 + b\]
Diese Gleichung löst du nun nach b auf (durch Umformen!).
Merke: \(b\) ist der y-Wert, bei dem die Tangente die y-Achse schneidet.
Schritt 4: Tangente aufstellen
Jetzt kennst du:
✔️ \(m_t\) (die Steigung)
✔️ \(b\) (den y-Achsenabschnitt)
Setze beides in die Geradengleichung ein und du hast die Tangente erfolgreich aufgestellt!
\[t(x)=m_t\cdot x + b\]
Zusammenfassung: Die 4 Schritte im Überblick
1. Funktionswert berechnen
x₀ einsetzen → y₀ = f(x₀) → Berührpunkt P(x₀ | y₀)
2. Steigung berechnen
ableiten → f'(x) → einsetzen → mₜ = f'(x₀)
3. y-Achsenschnitt berechnen
in y = m·x + b einsetzen → y₀ = mₜ·x₀ + b → nach b auflösen
4. Tangente aufstellen
mₜ und b einsetzen → t(x) = mₜ·x + b
3. Beispiel: Tangente an eine ganzrationale Funktion
Gegeben:
\[f(x)=3x^2-2x\]
Gesucht: Tangente an der Stelle \(x_0=1\).
Schritt 1: Funktionswert berechnen
Setze \(x_0=1\) in die Funktion ein und berechne den Funktionswert:
\[
\begin{aligned}
f(1) &= 3\cdot 1^2 – 2\cdot 1 \\
&= 3 – 2 \\
&= 1
\end{aligned}
\]
Damit hast du den Berührpunkt:
\[P(1\mid 1)\]
Schritt 2: Steigung berechnen
Nun leitest du die Funktion ab und setzt anschließend \(x_0=1\) ein:
\[
\begin{aligned}
f'(x) &= 6x – 2 \\
f'(1) &= 6\cdot 1 – 2 \\
&= 6 – 2 \\
&= 4
\end{aligned}
\]
Damit ist die Steigung der Tangente:
\[m_t=4\]
Schritt 3: y-Achsenabschnitt berechnen
Starte mit der Geradengleichung:
\[y=m\cdot x + b\]
Setze Berührpunkt und Steigung ein:
\[
\begin{aligned}
1 &= 4\cdot 1 + b \quad \vert -4 \\
-3 &= b \\
b &= -3
\end{aligned}
\]
Schritt 4: Tangente aufstellen
Setze \(m_t\) und \(b\) in die Geradengleichung ein:
\[t(x)=4x-3\]
4. Beispiel: Tangente an eine e-Funktion
Gegeben:
\[f(x)=x\cdot e^x\]
Gesucht: Tangente an der Stelle \(x_0=0\)
Wir gehen wieder exakt nach unseren 4 Schritten vor.
Schritt 1: Funktionswert berechnen
Setze \(x_0=0\) in die Funktion ein und berechne den Funktionswert:
\[\begin{aligned}
f(0) &= 0 \cdot e^0 \\
&= 0 \cdot 1 \\
&= 0
\end{aligned}\]
Damit hast du den Berührpunkt:
\[P(0\mid 0)\]
Schritt 2: Steigung berechnen
Nun leitest du die Funktion ab und setzt anschließend \(x_0=0\) ein:
Hier liegt ein Produkt aus zwei Funktionen vor:
\[x \quad \text{und} \quad e^x\]
Deshalb brauchen wir die Produktregel.
Produktregel:
\[(u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’\]
Wir setzen:
✔️ \(u(x)=x\)
✔️ \(v(x)=e^x\)
Ableitungen:
✔️ \(u'(x)=1\)
✔️ \(v'(x)=e^x\)
Jetzt wenden wir die Produktregel an:
\[
\begin{aligned}
f'(x) &= 1 \cdot e^x + x \cdot e^x \\
&= e^x + x e^x
\end{aligned}
\]
Nun setzen wir \(x_0=0\) ein:
\[
\begin{aligned}
f'(0) &= e^0 + 0 \cdot e^0 \\
&= 1 + 0 \cdot 1 \\
&= 1 + 0 \\
&= 1
\end{aligned}
\]
Damit ist die Steigung der Tangente:
\[m_t=1\]
Schritt 3: y-Achsenabschnitt berechnen
Starte mit der Geradengleichung:
\[y=m\cdot x + b\]
Setze den Berührpunkt und die Steigung ein:
\[
\begin{aligned}
0 &= 1 \cdot 0 + b \quad \vert -0 \\
0 &= b \\
b &= 0
\end{aligned}
\]
Schritt 4: Tangente aufstellen
Setze \(m_t\) und \(b\) in die Geradengleichung ein:
\[t(x)=1\cdot x + 0\]
\[t(x)=x\]
5. Beispiel: Tangente an eine Sinus-Funktion
Gegeben:
\[f(x)=2\cdot \sin(x)+1\]
Gesucht: Tangente an der Stelle \(x_0=\frac{\pi}{2}\).
Wir gehen wieder nach unseren 4 Schritten vor.
Schritt 1: Funktionswert berechnen
Setze \(x_0=\frac{\pi}{2}\) in die Funktion ein und berechne den Funktionswert:
\[
\begin{aligned}
f\left(\frac{\pi}{2}\right)
&= 2\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 \\
&= 2\cdot 1 + 1 \\
&= 2 + 1 \\
&= 3
\end{aligned}
\]
Damit hast du den Berührpunkt:
\[
P\left(\frac{\pi}{2}\mid 3\right)
\]
Schritt 2: Steigung berechnen
Nun leitest du die Funktion ab und setzt anschließend \(x_0=\frac{\pi}{2}\) ein:
\[
\begin{aligned}
f'(x) &= 2\cdot \cos(x)
\end{aligned}
\]
Jetzt setzen wir \(x_0=\frac{\pi}{2}\) ein:
\[
\begin{aligned}
f’\left(\frac{\pi}{2}\right)
&= 2\cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \\
&= 2\cdot 0 \\
&= 0
\end{aligned}
\]
Damit ist die Steigung der Tangente:
\[
m_t=0
\]
Schritt 3: y-Achsenabschnitt berechnen
Starte mit der Geradengleichung:
\[
y=m\cdot x + b
\]
Setze Berührpunkt und Steigung ein:
\[
\begin{aligned}
3 &= 0\cdot \frac{\pi}{2} + b \quad \vert -0 \\
3 &= b \\
b &= 3
\end{aligned}
\]
Schritt 4: Tangente aufstellen
Setze \(m_t\) und \(b\) in die Geradengleichung ein:
\[
t(x)=0\cdot x + 3
\]
\[
t(x)=3
\]
6. Weiteres Wissenswertes
Im Abitur taucht die Tangente oft zusammen mit anderen Themen auf. Typische Kombinationen sind:
- ✔️ Extrempunkte: waagerechte Tangente (Steigung \(m_t=0\))
- ✔️ Wendepunkte: Tangente im Wendepunkt aufstellen
- ✔️ Normale: Gerade senkrecht zur Tangente
- ✔️ Unterschied Tangente, Sekante und Normale
