In diesem Beitrag geht es um das Quadrat, seine wesentlichen Eigenschaften und die wichtigsten Berechnungen.
Inhalt des Beitrags:
Die Eigenschaften des Quadrates Die Beschriftung Der Umfang Der Flächeninhalt Die Länge der Diagonalen Die Symmetrieeigenschaften Der Umkreis und der Inkreis Komplettes Beispiel
(1.) Die Eigenschaften des Quadrates
Ein Viereck, bei dem
nennt man Quadrat.
Es gilt also:
\(\Rightarrow\)
\( \overline{AB}= \overline{BC}= \overline{CD}= \overline{DA}\)
(alle Seiten sind gleich lang!)
\(\Rightarrow\)
\( \alpha =\beta =\gamma =\delta = 90°\)
(alle Winkel betragen \(90°\), sind also rechte Winkel!)
\(\Rightarrow\)
Die Diagonalen in einem Quadrat sind:
- gleich lang
\( \overline{AC}=\overline{BD}\) - Sie halbieren sich gegenseitig
\( \overline{AM}=\overline{BM}=\overline{CM}=\overline{DM}\) - Sie schneiden sich in \( 90°\)-Winkeln
\( \angle AMB = \angle BMC = \angle CMD = \angle AMD = 90°\)
(2.) Die Beschriftung des Quadrates
Die Eckpunkte eines Quadrates werden mit großen Buchstaben entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet. Hierzu erhält der linke, untere Eckpunkt den Buchstaben A, der rechte untere B, der rechte obere C und der linke obere Eckpunkt D.
Die Seitenlängen werden alle mit dem kleinen Buchstaben a beschriftet, da sie alle die gleiche Länge besitzen.
Alle Winkel können mit dem Zeichen des rechten Winkels bezeichnet werden, denn sie alle haben eine Größe von \( 90°\).
(3.) Der Umfang des Quadrates
Für den Umfang eines Quadrates werden alle vier Seitenlängen addiert.
Da jede Seite die Länge \(a\) besitzt, gilt:
| \(U_Q=\) | \( a+a+a+a \) |
| \(U_Q=\) | \( 1a+1a+1a+1a \) |
| \(U_Q=\) | 4 \(\cdot\) a |
Beispiel:
Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=5 cm\)
Gesucht: Der Umfang \(U_Q\)
Rechnung:
| \(U_Q=\) | \( 4 \cdot a \) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 5 cm für \(a\) einsetzen |
| \(U_Q=\) | \( 4 \cdot 5cm \) |
| \(U_Q=\) | \(20cm\) |
(4.) Der Flächeninhalt des Quadrates:
Der Flächeninhalt eines Quadrates wird mit
| \(A_Q=\) | \( a \cdot a \) \( \, \, \, \,\) |
| \(A_Q=\) | \(a^2\) |
berechnet!
Beispiel:
Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=4 cm\)
Gesucht: Der Flächeninhalt \(A_Q\)
Rechnung:
| \(A_Q=\) | \( a^2 \) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 4 cm für \(a\) einsetzen |
| \(A_Q=\) | \( (4cm)^2 \) |
| \(A_Q=\) | \(16 cm^2\) |
(5.) Die Berechnung der Diagonalenlänge
Die Formel zur Berechnung der Diagonalen lautet:
| \(d=\) | \(a \cdot \sqrt{2}\) |
Beispiel:
Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=4 cm\)
Gesucht: Die Länge der Diagonalen \( d \)
Rechnung:
| \(d=\) | \( a \cdot \sqrt{2} \) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 4 cm für \(a\) einsetzen |
| \(d=\) | \( (4cm) \cdot \sqrt{2} \) |
| \(d=\) | \(4 \cdot \sqrt{2} \, cm \approx 5,66 \, cm\) |
(6.) Die Symmetrieeigenschaften des Quadrates
- Achsensymmetrie:
Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen. Zum einen die beiden Diagonalen und zum anderen die Mittelsenkrechten. - Punktsymmetrie:
Das Quadrat ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M (=Schnittpunkt der beiden Diagonalen)
(7.) Der Umkreis und der Inkreis eines Quadrates
Jedes Quadrat besitzt sowohl einen Umkreis, als auch einen Inkreis!
Die Formel zur Berechnung des Umkreisradius lautet:
| \(r_u=\) | \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) |
Beispiel:
Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=4 cm\)
Gesucht: Der Radius \( r_u \) des Umkreises
Rechnung:
| \(r_u=\) | \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 4 cm für \(a\) einsetzen |
| \(r_u=\) | \(\frac{4 \, cm }{\sqrt{2}}\) |
| \(r_u=\) | \(2 \cdot \sqrt{2}\, cm \approx 2,83 \, cm\) |
Die Formel zur Berechnung des Inkreisradius lautet:
| \(r_i=\) | \(\frac{a}{2}\) |
Beispiel:
Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=6 cm\)
Gesucht: Der Radius \( r_i \) des Inkreises
Rechnung:
| \(r_i=\) | \(\frac{a}{2}\) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 6 cm für \(a\) einsetzen |
| \(r_i=\) | \(\frac{6 \, cm }{2}\) |
| \(r_i=\) | \(3 \, cm \) |
(8.) Komplettes Beispiel
Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=10cm \)!
Rechnungen:
- Umfang:
\(U_Q= 4 \cdot a\) |\(a=10cm\)
\(U_Q= 4 \cdot \, 10cm\)
\(U_Q=40 cm\) - Flächeninhalt:
\(A_Q= a \cdot a\) |\(a=10cm\)
\(A_Q= 10 cm \cdot \, 10cm\)
\(A_Q=100 cm^2\) - Diagonalenlänge:
\(d= a \cdot \sqrt{2}\) |\(a=10cm\)
\(d= 10 cm \cdot \, \sqrt{2}\)
\(d=10 \sqrt{2} cm \approx 14,14 cm\) - Umkreisradius:
\(r_u= \frac{a}{\sqrt{2}}\) |\(a=10cm\)
\(r_u= \frac{10cm}{\sqrt{2}}\)
\(r_u=5 \sqrt{2} cm \approx 7,07 cm\) - Inkreisradius:
\(r_i= \frac{a}{2}\) |\(a=10cm\)
\(r_i= \frac{10cm}{2}\)
\(r_i=5 cm\)
