Kategorie: Klasse 5 – 10

Das arithmetische Mittel


(1.) Was ist das arithmetische Mittel
(2.) Das ungewogene arithmetische Mittel
(3.) Das gewogene arithmetische Mittel
(a.) mit absoluten Häufigkeiten
(b.) mit relativen Häufigkeiten


(1.) Was ist das arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel, oder auch arithmetischer Mittelwert, ist ein sogenannter Lageparameter aus dem Bereich der Statistik. Lageparameter sind Maßzahlen, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung erlauben. Umgangssprachlich wird dieser Mittelwert mit „Durchschnitt“ bezeichnet.


(2.) Das ungewogene arithmetische Mittel

Bei dem ungewogenen arithmetischen Mittel sind Beobachtungswerte gegeben (im Gegensatz dazu sind bei dem gewogenen arithmetischen Mittel die absoluten oder relativen Häufigkeiten gegeben).

Die Formel:

\( \begin{array}[h]{rll}
\bar{x} & = \frac{x_1+x_2+…+x_n}{n} & \text{ oder}\\
& =\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n} x_i &\text{ oder}\\
& =(x_1+x_2+…+x_n):n & \text{ oder}\\
&=\frac{1}{n} \cdot (x_1+x_2+…+x_n)
\end{array}\)

Hinweis: Diese Formeln stellen lediglich unterschiedliche Schreibweisen dar. Bei der richtigen Anwendung liefern sie alle dasselbe Ergebnis, nämlich das arithmetische Mittel! Im folgenden Beispiel wird die letzte Schreibweise verwendet!


Julia hat folgende Noten und möchte ihren Durchschnitt berechnen:
2; 2; 1; 3; 5; 1

Bestimmung der Anzahl n durch Abzählen (Anzahl der Noten): n=6
Bereichnung des arithmetischen Mittels:

\( \begin{array}[h]{rl}
\bar{x} & =\frac{1}{n} \cdot (x_1+x_2+…+x_n)\\
& =\frac{1}{6} \cdot (2+2+1+3+5+1)\\
& =\frac{1}{6} \cdot 14\\
&\approx 2,33
\end{array}\)

Tipp: Beobachtungswerte addieren und diese Summe mit \(\frac{1}{n}\) multiplizieren.


(3.) Das gewogene arithmetische Mittel

Bei dem gewogenen arithmetischen Mittel sind die absoluten oder relativen Häufigkeiten gegeben (im Gegensatz dazu sind bei dem ungewogenen arithmetischen Mittel die Beobachtungswerte gegeben).


a) mit absoluten Häufigkeiten

Formel:

\( \begin{array}[h]{rll}
\bar{x} & = \frac{x_1\cdot H_1+x_2\cdot H_2+…+x_m \cdot H_m}{n} & \text{ oder}\\
& =\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{m} x_i \cdot H_i &\text{ oder}\\
& =(x_1\cdot H_1 +x_2\cdot H_2+…+x_m \cdot H_m):n & \text{ oder}\\
&=\frac{1}{n} \cdot (x_1\cdot H_1+x_2 \cdot H_2+…+x_m \cdot H_m)
\end{array}\)

Hinweis: Diese Formeln stellen lediglich unterschiedliche Schreibweisen dar. Bei der richtigen Anwendung liefern sie alle dasselbe Ergebnis, nämlich das arithmetische Mittel! Im folgenden Beispiel wird die letzte Schreibweise verwendet!


Beispiel: Schulnoten
\( \begin{array}[h]{r|c|c|c|c|c}
\text{Schulnote }x_i&1&2&3&4&5\\
\hline
\text{absolute Häufigkeit }H_i&3&2&1&1&1\\
\end{array}\)

Bestimmung der Anzahl n: 3+2+1+1+1=8 \( \rightarrow \) n=8
Berechnung des arithmetischen Mittels:

\( \begin{array}[h]{rl}
\bar{x} & =\frac{1}{n} \cdot (x_1\cdot H_1+x_2\cdot H_2+…+x_m \cdot H_m)\\
& =\frac{1}{8} \cdot (1 \cdot 3+ 2\cdot 2+ 3\cdot 1+4 \cdot 1+5 \cdot 1)\\
& =\frac{1}{8} \cdot (3+4+3+4+5)\\
& =\frac{1}{8} \cdot 19\\
&\approx 2,4
\end{array}\)

Tipp: 1 durch „Anzahl“ mal „oben mal unten + oben mal unten + …“


b) mit relativen Häufigkeiten

Formel:

\( \begin{array}[h]{rll}
\bar{x} & = x_1\cdot h_1 +x_2\cdot h_2+…+x_m \cdot h_m & \text{ oder}\\
&=\sum\limits_{i=1}^{m}x_i \cdot h_i
\end{array}\)

Beispiel: Schulnoten
\( \begin{array}[h]{r|c|c|c|c}
\text{Schulnote }x_i&1&2&3&4\\
\hline
\text{relative Häufigkeit }h_i&0,2&0,4&0,3&0,1\\
\end{array}\)

Berechnung des arithmetischen Mittels:

\( \begin{array}[h]{rl}
\bar{x} & =x_1\cdot h_1 +x_2\cdot h_2+…+x_m \cdot h_m\\
& =1 \cdot 0,2+ 2\cdot 0,4+ 3\cdot 0,3+4 \cdot 0,1\\
& =2,3
\end{array}\)

Tipp: „oben mal unten + oben mal unten + …“

Die binomischen Formeln


Die drei binomischen Formeln
Die erste binomische Formel
Die zweite binomische Formel
Die dritte binomische Formel


(1.) Die drei binomischen Formeln

Die erste binomische Formel:

$$(a+b)^2=a^2+2 \cdot a \cdot b + b^2 \text{ oder }$$

$$((1.)+(2.))^2=(1.)^2+2 \cdot (1.) \cdot (2.) + (2.)^2$$


Die zweite binomische Formel:

$$(a-b)^2=a^2-2 \cdot a \cdot b + b^2 \text{ oder }$$

$$((1.)-(2.))^2=(1.)^2-2 \cdot (1.) \cdot (2.) + (2.)^2$$


Die dritte binomische Formel:

$$(a+b) \cdot (a-b) =a^2 – b^2 \text{ oder }$$

$$((1.)+(2.)) \cdot ((1.)-(2.))=(1.)^2-(2.)^2$$


(2.) Die erste binomische Formel


a) Die Formel: \((a+b)^2=a^2+2 \cdot a \cdot b + b^2\)


b) Rechnerische Herleitung:

\( \begin{array}[h]{rl}
(a+b)^2 & =(a+b) \cdot (a+b) \, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \, \text{ |ausklammern des linken Faktors}\\
& =a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \\
& =a^2 + 2 \cdot a\cdot b +b^2 \
\end{array}\)

„Jedes Teil des ersten Ausdrucks mit jedem Teil der zweiten Klammer multiplizieren!“


c) Graphische Herleitung:

Graphische Herleitung der ersten binomischen Formel

d) Beispiel Ausmultiplizieren:

\( \begin{array}[h]{rl}
(a+b)^2 & =a^2+2 \cdot a \cdot b +b^2 \\
(2x+5)^2 &=(2x)^2+ 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 \\
& =4x^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x +25 \\
&=4x^2 + 20x +25
\end{array}\)

Natürlich kannst du mit einiger Übung die mittleren Rechenschritte weglassen und direkt von der Klammer zum endgültigen, vereinfachten Term gelangen!


e) Beispiel Faktorisieren:

\( \begin{array}[h]{rl}
a^2+2 \cdot a \cdot b +b^2 &=(a+b)^2 \\
9x^2+12xy+4y^2 &=(3x)^2+ 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 \\
& =(3x+2y)^2
\end{array}\)

Auch beim Faktorisieren kannst du direkt den vereinfachten Term hinschreiben!

Tipp: \( 9x^2+12xy+4y^2 \)
1. Wurzel aus \( 9x^2= \sqrt{9 \cdot x^2}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2}=3 \cdot x =3x\)
2. Wurzel aus \(4y^2=\sqrt{4 \cdot y^2}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{y^2}=2y \)
3. Probe für den mittleren Teil: \( 2 \cdot 3x \cdot 2y=12xy\)
4. Anwenden
$$9x^2+12xy+4y^2=(3x+2y)^2$$

https://youtu.be/JgKm0hj0aNM


(3.) Die zweite binomische Formel


a) Die Formel: \((a-b)^2=a^2-2 \cdot a \cdot b + b^2\)


b) Rechnerische Herleitung:

\( \begin{array}[h]{rl}
(a-b)^2 & =(a-b) \cdot (a-b) \, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \, \text{ |ausklammern des linken Faktors}\\
& =a \cdot a – a \cdot b – b \cdot a + b \cdot b \\
& =a^2 – 2 \cdot a\cdot b +b^2 \
\end{array}\)

„Jedes Teil des ersten Ausdrucks mit jedem Teil der zweiten Klammer multiplizieren!“


c) Graphische Herleitung:

Graphische Herleitung der zweiten binomischen Formel

d) Beispiel Ausmultiplizieren:

\( \begin{array}[h]{rl}
(a – b)^2 & =a^2 – 2 \cdot a \cdot b + b^2 \\
(4x – 2y)^2 &=(4x)^2 – 2 \cdot 4x \cdot 2y + (2y)^2 \\
& =16x^2 – 2 \cdot 4 \cdot2 \cdot x \cdot y + 4y^2 \\
&=16x^2 – 16xy + 4y^2
\end{array}\)

Auch hier kannst du natürlich mit einiger Übung die mittleren Rechenschritte weglassen und direkt von der Klammer zum endgültigen, vereinfachten Term gelangen!


e) Beispiel Faktorisieren:

\( \begin{array}[h]{rl}
a^2 – 2 \cdot a \cdot b + b^2 & = (a – b)^2 \\
4x^2 – 20xy + 25y^2 &= (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 \\
& =(2x+5y)^2
\end{array}\)

Auch beim Faktorisieren kannst du direkt den vereinfachten Term hinschreiben!

Tipp: \( 4x^2 – 20xy + 25y^2 \)
1. Wurzel aus \( 4x^2= \sqrt{4 \cdot x^2}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2}=2 \cdot x =2x\)
2. Wurzel aus \(25y^2=\sqrt{25 \cdot y^2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{y^2}=5y \)
3. Probe für den mittleren Teil: \( 2 \cdot 2x \cdot 5y=20xy\)
4. Anwenden
$$4x^2 – 20xy + 25y^2=(2x – 5y)^2$$


(4.) Die dritte binomische Formel


a) Die Formel: \((a+b) – (a – b)=a^2 – b^2\)


b) Rechnerische Herleitung:

\( \begin{array}[h]{rl}
(a+b)\cdot (a-b) &=a \cdot a – a \cdot b + b \cdot a – b \cdot b \, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \, \text{ |ausklammern des linken Faktors}\\
& =a^2 – b^2 \
\end{array}\)

„Jedes Teil des ersten Ausdrucks mit jedem Teil der zweiten Klammer multiplizieren!“


c) Graphische Herleitung:

Graphische Herleitung der dritten binomischen Formel

d) Beispiel Ausmultiplizieren:

\( \begin{array}[h]{rl}
(a+b)(a – b) & =a^2-b^2 \\
(2y+4b)(2y – 4b) &=(2y)^2 – (4b)^2 \\
& =2y \cdot 2y – 4b \cdot 4b \\
&=2 \cdot 2 \cdot y \cdot y – 4 \cdot 4 \cdot b \cdot b\\
&=4y^2 – 16b^2
\end{array}\)


e) Beispiel Faktorisieren:

\( \begin{array}[h]{rl}
a^2 – b^2 &=(a+b)(a-b) \\
9x^2-100y^2 &=(3x+10y)(3x-10y)
\end{array}\)

Tipp: \( 9x^2-100y^2 \)
1. Wurzel aus \( 9x^2= \sqrt{9 \cdot x^2}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2}=3 \cdot x =3x\)
2. Wurzel aus \(100y^2=\sqrt{100 \cdot y^2}=\sqrt{100}\cdot \sqrt{y^2}=10 \cdot y=10y \)
3. Anwenden
$$9x^2-100y^2=(3x+10y)(3x-10y)$$


Das Quadrat


In diesem Beitrag geht es um das Quadrat, seine wesentlichen Eigenschaften und die wichtigsten Berechnungen.

Inhalt des Beitrags:

Die Eigenschaften des Quadrates
Die Beschriftung
Der Umfang
Der Flächeninhalt
Die Länge der Diagonalen
Die Symmetrieeigenschaften
Der Umkreis und der Inkreis
Komplettes Beispiel


(1.) Die Eigenschaften des Quadrates

Ein Viereck, bei dem

1.) alle Seiten gleich lang und parallel sind und
2.) alle Winkel eine Größe (90°) von besitzen

nennt man Quadrat.


Es gilt also:



\(\Rightarrow\)



\( \overline{AB}= \overline{BC}= \overline{CD}= \overline{DA}\)
(alle Seiten sind gleich lang!)

Das Quadrat



\(\Rightarrow\)



\( \alpha =\beta =\gamma =\delta = 90°\)
(alle Winkel betragen \(90°\), sind also rechte Winkel!)

Rechte Winkel im Quadrat

\(\Rightarrow\)

Die Diagonalen in einem Quadrat sind:

  • gleich lang
    \( \overline{AC}=\overline{BD}\)

  • Sie halbieren sich gegenseitig
    \( \overline{AM}=\overline{BM}=\overline{CM}=\overline{DM}\)

  • Sie schneiden sich in \( 90°\)-Winkeln
    \( \angle AMB = \angle BMC = \angle CMD = \angle AMD = 90°\)
Diagonalen im Quadrat


(2.) Die Beschriftung des Quadrates



Die Eckpunkte eines Quadrates werden mit großen Buchstaben entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet. Hierzu erhält der linke, untere Eckpunkt den Buchstaben A, der rechte untere B, der rechte obere C und der linke obere Eckpunkt D.




Die Seitenlängen werden alle mit dem kleinen Buchstaben a beschriftet, da sie alle die gleiche Länge besitzen.



Alle Winkel können mit dem Zeichen des rechten Winkels bezeichnet werden, denn sie alle haben eine Größe von \( 90°\).


(3.) Der Umfang des Quadrates

Für den Umfang eines Quadrates werden alle vier Seitenlängen addiert.

Da jede Seite die Länge \(a\) besitzt, gilt:

\(U_Q=\) \( a+a+a+a \)
\(U_Q=\) \( 1a+1a+1a+1a \)
\(U_Q=\) 4 \(\cdot\) a
Umfang des Quadrates


Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=5 cm\)
Gesucht: Der Umfang \(U_Q\)
Rechnung:

\(U_Q=\) \( 4 \cdot a \) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 5 cm für \(a\) einsetzen
\(U_Q=\) \( 4 \cdot 5cm \)
\(U_Q=\) \(20cm\)


(4.) Der Flächeninhalt des Quadrates:

Der Flächeninhalt eines Quadrates wird mit

\(A_Q=\) \( a \cdot a \) \( \, \, \, \,\)
\(A_Q=\) \(a^2\)

berechnet!

Flächeninhalt Quadrat


Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=4 cm\)
Gesucht: Der Flächeninhalt \(A_Q\)
Rechnung:

\(A_Q=\) \( a^2 \) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 4 cm für \(a\) einsetzen
\(A_Q=\) \( (4cm)^2 \)
\(A_Q=\) \(16 cm^2\)


(5.) Die Berechnung der Diagonalenlänge

Die Formel zur Berechnung der Diagonalen lautet:

\(d=\) \(a \cdot \sqrt{2}\)
Diagonale Quadrat


Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=4 cm\)
Gesucht: Die Länge der Diagonalen \( d \)
Rechnung:

\(d=\) \( a \cdot \sqrt{2} \) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 4 cm für \(a\) einsetzen
\(d=\) \( (4cm) \cdot \sqrt{2} \)
\(d=\) \(4 \cdot \sqrt{2} \, cm \approx 5,66 \, cm\)


(6.) Die Symmetrieeigenschaften des Quadrates

  1. Achsensymmetrie:
    Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen. Zum einen die beiden Diagonalen und zum anderen die Mittelsenkrechten.
  2. Punktsymmetrie:
    Das Quadrat ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M (=Schnittpunkt der beiden Diagonalen)
Symmetrie Quadrat


(7.) Der Umkreis und der Inkreis eines Quadrates

Jedes Quadrat besitzt sowohl einen Umkreis, als auch einen Inkreis!

Die Formel zur Berechnung des Umkreisradius lautet:

\(r_u=\) \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)

Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=4 cm\)
Gesucht: Der Radius \( r_u \) des Umkreises
Rechnung:

\(r_u=\) \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 4 cm für \(a\) einsetzen
\(r_u=\) \(\frac{4 \, cm }{\sqrt{2}}\)
\(r_u=\) \(2 \cdot \sqrt{2}\, cm \approx 2,83 \, cm\)
Umkreis Quadrat


Die Formel zur Berechnung des Inkreisradius lautet:

\(r_i=\) \(\frac{a}{2}\)

Beispiel:

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=6 cm\)
Gesucht: Der Radius \( r_i \) des Inkreises
Rechnung:

\(r_i=\) \(\frac{a}{2}\) \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) | 6 cm für \(a\) einsetzen
\(r_i=\) \(\frac{6 \, cm }{2}\)
\(r_i=\) \(3 \, cm \)
Inkreis Quadrat


(8.) Komplettes Beispiel

Gegeben: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a=10cm \)!
Rechnungen:

  1. Umfang:
    \(U_Q= 4 \cdot a\)   |\(a=10cm\)
    \(U_Q= 4 \cdot \, 10cm\)
    \(U_Q=40 cm\)

  2. Flächeninhalt:
    \(A_Q= a \cdot a\)   |\(a=10cm\)
    \(A_Q= 10 cm \cdot \, 10cm\)
    \(A_Q=100 cm^2\)

  3. Diagonalenlänge:
    \(d= a \cdot \sqrt{2}\)   |\(a=10cm\)
    \(d= 10 cm \cdot \, \sqrt{2}\)
    \(d=10 \sqrt{2} cm \approx 14,14 cm\)

  4. Umkreisradius:
    \(r_u= \frac{a}{\sqrt{2}}\)   |\(a=10cm\)
    \(r_u= \frac{10cm}{\sqrt{2}}\)
    \(r_u=5 \sqrt{2} cm \approx 7,07 cm\)

  5. Inkreisradius:
    \(r_i= \frac{a}{2}\)   |\(a=10cm\)
    \(r_i= \frac{10cm}{2}\)
    \(r_i=5 cm\)