Erkennen: Neben einer reinen Zahl kommt nur eine Potenz von x vor.

1. Gleichung vereinfachen: Klammern auflösen, Terme zusammenfassen und alles auf eine Seite bringen.
2. Nach xⁿ auflösen: Die vorkommende Potenz von x soll alleine stehen.
3. Wenn nötig und möglich: Wurzel ziehen. Bei einer geraden Potenz auf beide Lösungen achten.
4. Lösungsmenge angeben.

Erkennen: Es gibt kein Absolutglied; alle Summanden besitzen einen gemeinsamen Faktor.

1. Gleichung vereinfachen: Falls nötig Klammern auflösen, Terme zusammenfassen und alles auf eine Seite bringen.
2. Kleinste Potenz von x ausklammern.
3. Satz vom Nullprodukt anwenden: Jeden Faktor einzeln gleich 0 setzen.
4. Entstehende Gleichungen lösen, wenn möglich.
5. Lösungsmenge angeben.

Erkennen: Ein Produkt aus mindestens zwei Faktoren steht gleich null.

1. Gleichung vereinfachen: Falls nötig alles auf eine Seite bringen, sodass rechts 0 steht.
2. Satz vom Nullprodukt anwenden: Prüfen, ob wirklich ein Produkt gleich 0 vorliegt, und jeden Faktor einzeln gleich 0 setzen.
3. Einzelne Gleichungen lösen.
4. Lösungsmenge angeben.

Erkennen: Quadratische Gleichung mit x², x und einer reinen Zahl.

1. Gleichung vereinfachen: Klammern auflösen, Terme zusammenfassen und alles auf eine Seite bringen.
2. Wenn nötig normieren: Vor x² muss eine 1 stehen.
3. p und q bestimmen: Aus x² + px + q = 0 ablesen.
4. In die pq-Formel einsetzen und vereinfachen.
5. Lösungsmenge angeben.

Alternative: Mitternachtsformel – insbesondere dann praktisch, wenn vor x² ein Vorfaktor steht.

Erkennen: Quadratische Gleichung in der Form ax² + bx + c = 0.

1. Gleichung vereinfachen: Klammern auflösen, Terme zusammenfassen und alles auf eine Seite bringen.
2. a, b und c bestimmen: Mit ihren Vorzeichen aus ax² + bx + c = 0 ablesen.
3. In die Mitternachtsformel einsetzen und vereinfachen.
4. Lösungsmenge angeben.

Alternative: Nach dem Normieren kann dieselbe Gleichung mit der pq-Formel gelöst werden.

Erkennen: Die Exponenten bauen auf einer kleinsten Potenz von mindestens 2 auf, zum Beispiel 4 und 2.

1. Gleichung vereinfachen: Falls nötig Klammern auflösen, Terme zusammenfassen und alles auf eine Seite bringen.
2. Kleinste Potenz = z setzen, zum Beispiel z = x².
3. Neue Gleichung in z lösen.
4. Rücksubstitution: z wieder durch die kleinste Potenz ersetzen.
5. Wenn möglich: Wurzel ziehen und auf reelle Lösungen prüfen.
6. Lösungsmenge angeben.

Erkennen: Gleichung höheren Grades ohne passendere frühere Struktur; eine erste Nullstelle ist bekannt oder wurde gefunden.

1. Gleichung vereinfachen: Alles auf eine Seite bringen und fehlende Potenzen mit dem Koeffizienten 0 ergänzen.
2. Erste Lösung finden: Häufig helfen die Teiler des Absolutgliedes bei der Probe.
3. Polynomdivision durchführen: Durch den zugehörigen Faktor (x − x₁) teilen.
4. Ergebnis = 0 setzen.
5. Neue, einfachere Gleichung lösen.
6. Lösungsmenge angeben.

Alternative: Das Horner-Schema führt bei einem linearen Divisor kompakter zum gleichen Quotienten.

Erkennen: Gleiche Ausgangslage wie bei der Polynomdivision; geteilt wird durch einen linearen Faktor.

1. Gleichung vereinfachen: Alles auf eine Seite bringen und fehlende Potenzen mit dem Koeffizienten 0 ergänzen.
2. Erste Lösung finden: Häufig helfen die Teiler des Absolutgliedes bei der Probe.
3. Horner-Schema durchführen: Koeffizienten eintragen und mit der gefundenen Lösung arbeiten.
4. Ergebnis als neue Gleichung = 0 aufschreiben.
5. Neue, einfachere Gleichung lösen.
6. Lösungsmenge angeben.

Alternative: Polynomdivision – ausführlicher geschrieben, aber mathematisch gleichwertig.