Erst vorbereiten, dann die richtige Strategie erkennen
Bevor du eine ganzrationale Gleichung löst, bringst du sie zunächst in eine übersichtliche Form. Danach analysierst du ihren Aufbau und entscheidest mithilfe des Schemas, welche Lösungsstrategie passt.
Vor-Vorarbeit
Gleichung in die Form Term = 0 bringen, Klammern auflösen, zusammenfassen und ordnen.
Vorarbeit
Den Aufbau der vorbereiteten Gleichung untersuchen und das Entscheidungsschema durchlaufen.
Gleichung lösen
Die gefundene Lösungsstrategie sauber durchführen und die Lösungsmenge angeben.
Lernzettel herunterladen
Der Lernzettel erklärt die vier Merkmale einer vollständig vorbereiteten Gleichung, zeigt das Entscheidungsschema und enthält eine Übung mit Lösungen.
So gehst du vor: Lies den Lernzettel zunächst vollständig durch. Bearbeite anschließend die Übung ohne Lösung und kontrolliere erst danach deinen Rechen- und Entscheidungsweg.
Die vier Merkmale einer vorbereiteten Gleichung
Arbeite die vier Karten der Reihe nach durch. Jede Karte verändert nur ein Merkmal. Erst danach analysierst du den Aufbau und wählst die Lösungsstrategie aus.
Term = 0
Bringe alle Terme auf eine Seite. Auf der anderen Seite steht anschließend nur noch null.
Klammerfrei schreiben
Multipliziere vorhandene Klammern aus. In diesem Schritt wird noch nichts zusammengefasst.
Vollständig zusammenfassen
Fasse nur gleichartige Terme zusammen: x²-Terme mit x²-Termen und reine Zahlen mit reinen Zahlen.
Nach Potenzen ordnen
Schreibe die Terme nach absteigenden Exponenten: höchste Potenz zuerst, reine Zahl zuletzt.
Jetzt beginnt die Vorarbeit: Du analysierst die sichtbaren Potenzen und wählst mithilfe des Schemas die passende Lösungsstrategie aus.
Die Gleichung ist vorbereitet – jetzt wird analysiert
Noch wird nicht gerechnet. Prüfe zuerst den sichtbaren Aufbau der Gleichung und leite daraus eine sinnvolle Lösungsstrategie ab.
So verwendest du das Entscheidungsschema
Beginne immer ganz oben. Beantworte jede Frage anhand der vorbereiteten Gleichung und folge anschließend dem passenden Ja- oder Nein-Pfeil.
Typische Strukturen schnell erkennen
Nur eine Potenz von x
Beispiel: 7x⁴ − 112 = 0
Umformen und WurzelKein Absolutglied
Alle Summanden enthalten mindestens einen gemeinsamen Faktor x.
Ausklammern + Nullproduktx², x und reine Zahl
Die vollständig quadratische Gleichung hat den höchsten Exponenten 2.
pq-Formel / Mitternachtsformelx⁴, x² und reine Zahl
Die Exponenten bauen auf der kleinsten vorkommenden Potenz auf.
SubstitutionsmethodeHöherer Grad ohne frühere Struktur
Es lässt sich weder direkt ausklammern noch sinnvoll substituieren.
Polynomdivision / Horner-SchemaProdukt steht bereits gleich null
Beispiel: (x + 3)(x − 5) = 0
Satz vom NullproduktWelche Lösungsstrategie passt?
Analysiere jede Gleichung mithilfe des Schemas. Du musst die Gleichungen hier noch nicht lösen. Öffne die Selbstkontrolle erst, nachdem du dich für eine Strategie entschieden hast.
Dein Auftrag: Notiere zu jeder Gleichung die sichtbaren Merkmale, deinen Weg durch das Schema und die daraus folgende Lösungsstrategie.
- Welche besondere Form liegt bereits vor?
- Muss die Gleichung ausmultipliziert werden?
- Welche Strategie passt?
- Gibt es ein Absolutglied?
- Welcher gemeinsame Faktor ist erkennbar?
- Welche Strategie passt?
- Wie viele verschiedene Potenzen von x kommen vor?
- Kann direkt nach x⁴ umgeformt werden?
- Welche Strategie passt?
- Welche Exponenten und welches Absolutglied sind sichtbar?
- Wie hängen die Exponenten 4 und 2 zusammen?
- Welche Strategie passt?
- Welchen höchsten Exponenten besitzt die Gleichung?
- Welche drei Bestandteile sind vorhanden?
- Welche zwei alternativen Strategien passen?
- Warum kann nicht ausgeklammert werden?
- Warum passt keine Substitution?
- Welche alternativen Strategien bleiben?
Selbstkontrolle aufklappen
A Produkt steht bereits gleich null
Merkmale: Die linke Seite besteht aus drei multiplizierten Faktoren. Das Produkt ist bereits gleich null.
Weg im Schema: Diese günstige Sonderform wird vor dem Ausmultiplizieren erkannt. Jeder Faktor kann einzeln gleich null gesetzt werden.
Satz vom NullproduktB Kein Absolutglied vorhanden
Merkmale: Es kommen mehrere Potenzen von x vor, aber keine reine Zahl. Beide Summanden enthalten den gemeinsamen Faktor x².
Weg im Schema: Kein Absolutglied → den kleinsten gemeinsamen Faktor x² ausklammern → anschließend Satz vom Nullprodukt anwenden.
Ausklammern + NullproduktC Nur eine Potenz von x
Merkmale: Neben der reinen Zahl kommt ausschließlich die Potenz x⁴ vor.
Weg im Schema: Es gibt nicht mehrere verschiedene Potenzen von x. Daher wird nach x⁴ umgeformt und anschließend – wenn in den reellen Zahlen möglich – die vierte Wurzel gezogen.
Umformen und WurzelD Exponenten 4 und 2 sowie reine Zahl
Merkmale: Es gibt ein Absolutglied. Der kleinste Exponent ist 2 und der weitere Exponent 4 ist ein ganzzahliges Vielfaches davon.
Weg im Schema: Höchster Exponent ist nicht 2 → Exponenten bauen auf x² auf → x² wird durch eine neue Variable ersetzt.
SubstitutionsmethodeE Vollständig quadratische Gleichung
Merkmale: Die Gleichung enthält x², x und eine reine Zahl. Ihr höchster Exponent ist 2.
Weg im Schema: Quadratische Gleichung erkennen. Für die pq-Formel muss zunächst durch den Vorfaktor 4 dividiert werden; die Mitternachtsformel kann direkt mit a, b und c verwendet werden.
pq-Formel oder MitternachtsformelF Gleichung dritten Grades ohne frühere Struktur
Merkmale: Wegen des Absolutgliedes kann kein x ausgeklammert werden. Die Exponenten 3, 2 und 1 sind keine ganzzahligen Vielfachen einer kleinsten Potenz von mindestens 2.
Weg im Schema: Weder Ausklammern, quadratische Formel noch Substitution passen. Nach dem Finden einer ersten Nullstelle wird der Grad der Gleichung reduziert.
Polynomdivision oder Horner-SchemaJetzt kannst du die Gleichung gezielt lösen
Du hast gelernt, eine Gleichung vollständig vorzubereiten, ihren Aufbau zu analysieren und eine passende Strategie auszuwählen. In den nächsten Lerneinheiten wiederholst du die einzelnen Lösungsverfahren kompakt.
