Ganzrationale Funktionen sicher ableiten
Hier lernst du, ganzrationale Funktionen mithilfe der Summenregel, Differenzregel und Potenzregel Schritt für Schritt abzuleiten. Beginne mit dem Lernzettel und wende die Regeln anschließend direkt auf die Übungen an.
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Ganzrationale Funktionen Schritt für Schritt ableiten
Eine ganzrationale Funktion besteht aus mehreren Summanden. Deshalb wendest du die Potenzregel auf jeden Summanden einzeln an.
Summen- und Differenzregel
Die einzelnen Summanden einer Funktion dürfen getrennt voneinander abgeleitet werden. Die Rechenzeichen bleiben dabei erhalten.
(f(x) − g(x))′ = f′(x) − g′(x)
Alles, was durch ein + oder durch ein − getrennt ist, wird einzeln abgeleitet.
Potenzregel
Bei einem Potenzterm wird der Koeffizient mit dem Exponenten multipliziert. Anschließend wird der Exponent um eins verringert.
f′(x) = c · n · xn−1
Vorzahl · Hochzahl · xHochzahl − 1
Eine reine Zahl wird zu 0
Eine konstante Funktion besitzt an jeder Stelle denselben Funktionswert. Ihr Graph ist eine waagerechte Gerade und hat deshalb überall die Steigung 0.
f′(x) = 0
Bei f(x) = 3x2 + 7 entsteht f′(x) = 6x + 0 = 6x. Da die +0 nichts verändert, wird sie nicht mehr mitgeschrieben.
Zahl mal x wird zur Vorzahl
Ein einzelnes x besitzt die unsichtbare Hochzahl 1. Deshalb kann auch hier die Potenzregel angewendet werden.
f′(x) = 5 · 1 · x0 = 5
Bei „Zahl mal x“ bleibt nach dem Ableiten genau die Zahl stehen, die vor dem x stand. Ein einzelnes x wird zu 1.
Eine ganzrationale Funktion vollständig ableiten
In diesem Beispiel kommen verschiedene Potenzen, ein Term der Form Zahl mal x und eine reine Zahl vor.
Summanden erkennen
Die Funktion besteht aus vier Summanden. Sie werden durch Plus- oder Minuszeichen voneinander getrennt.
Potenzregel auf jeden Summanden anwenden
Multipliziere jeweils die Vorzahl mit der Hochzahl und verringere anschließend die Hochzahl um eins.
Produkte und Exponenten vereinfachen
Berechne die neuen Vorzahlen und vereinfache die neuen Potenzen.
Sonderfälle berücksichtigen
Da x0 = 1 gilt, wird aus 2x0 die Zahl 2. Die Ableitung der reinen Zahl −7 ist 0 und wird im Ergebnis nicht mehr mitgeschrieben.
Kannst du die Funktionen selbstständig ableiten?
Leite die drei Funktionen zunächst ohne Hilfe ab. Öffne die jeweilige Lösung erst, wenn du deinen eigenen Rechenweg beendet hast.
Leite die Funktion vollständig ab
Lösung und Rechenweg anzeigen
Jeder der vier Summanden wird einzeln abgeleitet.
f′(x) = 20x3 − 6x + 4
Leite die Funktion vollständig ab
Lösung und Rechenweg anzeigen
Beachte, dass ein einzelnes −x als −1x geschrieben werden kann. Seine Ableitung ist deshalb −1.
g′(x) = −10x4 + 21x2 − 1
Leite die Funktion vollständig ab
Lösung und Rechenweg anzeigen
Beim ersten Summanden wird die Vorzahl ½ mit der Hochzahl 6 multipliziert. Das ergibt die neue Vorzahl 3.
h′(x) = 3x5 − 8x
Kontrolliere deinen Rechenweg
- Habe ich jeden durch Plus oder Minus getrennten Summanden einzeln abgeleitet?
- Habe ich die Vorzahl mit der Hochzahl multipliziert?
- Habe ich die Hochzahl anschließend um eins verringert?
- Habe ich reine Zahlen zu 0 abgeleitet?
- Habe ich bei Zahl mal x die Zahl vor dem x stehen gelassen?
Du hast alle drei Aufgaben bearbeitet und deine Lösungen kontrolliert? Dann kannst du mit der nächsten Lektion fortfahren.
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