Kostenlose Videobibliothek · Thema 08
Rotationsvolumenberechnen
Berechne das Volumen eines Rotationskörpers mit einem Integral. Erkenne den Radius im Funktionsterm und wähle die passenden Integrationsgrenzen. Hier findest du Beispiele zur Rotation um die x-Achse und um die y-Achse.
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Vom Graphen zum Rotationskörper
Durch die Rotation einer Fläche um eine Achse entsteht ein Körper. Sein Volumen berechnest du, indem du die kreisförmigen Querschnitte entlang der Rotationsachse integrierst.
Der Radius wird quadriert: Rotiert die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse auf [a; b] mit a < b um die x-Achse, gilt: V = π · ∫ₐᵇ (f(x))² dx Der Radius ist der Abstand zur Rotationsachse. Quadriere deshalb den gesamten Funktionsterm und beachte den Faktor π. Bei der Rotation um die y-Achse drückst du den Radius in Abhängigkeit von y aus, zum Beispiel über eine passende Umkehrfunktion.
Rotation um die x-Achse
Erkenne den Radius im Funktionsterm, quadriere ihn und berechne das Volumen mit den passenden Integrationsgrenzen.
Rotationsvolumen mit einer Wurzelfunktion
Berechne das Volumen für f(x) = √(6x² + 4x). Beim Quadrieren der Funktion fällt die Wurzel weg; anschließend integrierst du den entstandenen Term.
Volumen eines Rotationskörpers · x-Achse
Berechne das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse. Nutze das Quadrat der Funktion im Integral und den Faktor π.
Rotation um die x-Achse · weiteres Beispiel
Vertiefe die Volumenberechnung bei der Rotation um die x-Achse mit einem weiteren Rechenbeispiel.
Rotation um die y-Achse
Drücke den Radius in Abhängigkeit von y aus. Dafür kann eine passende Umkehrfunktion verwendet werden.
Rotation um die y-Achse · mit Umkehrfunktion
Berechne ein Rotationsvolumen um die y-Achse mithilfe einer Umkehrfunktion. Beachte den Radius in Abhängigkeit von y und die dazu passenden Integrationsgrenzen.
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