Der Median

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(1.) Was ist der Median
(2.) Durch Abzählen
(a.) mit ungerader Anzahl
(b.) mit gerader Anzahl
(3.) Mit Formel
(a.) mit ungerader Anzahl
(b.) mit gerader Anzahl


(1.) Was ist der Median?

Der Median ist ein Lageparameter und ist der Wert, der genau in der Mitte einer geordneten Datenreihe liegt. Also liegt die eine Hälfte dieser Reihe darunter und die andere darüber. Er wird auch Zentralwert genannt.


(2.) Durch Abzählen

a) mit ungerader Anzahl

Beispiel:

5 Kinder nennen ihr Alter \(\rightarrow\) \(6, 6, 5, 7, 8\)

1. Zahlenreihe in aufsteigender Reihenfolge sortieren

\(5, 6, 6, 7, 8\)

2. Den mittleren Wert bestimmen
\(\not 5 , 6, 6, 7, \not 8\)
\(\not 5 , \not 6, 6, \not 7, \not 8\)

\( \rightarrow \tilde x =6 \) oder \( x_{Med}=6\)

Der Median ist \(\tilde x=6\).

Hinweis: Der Median wird in der Regel mit \( \tilde x \) oder \( x_{Med} \) beschriftet!


b) mit gerader Anzahl

Beispiel:

6 Kinder nennen ihr Alter \(\rightarrow\) \(6, 6, 5, 7, 8, 7\)

1. Zahlenreihe in aufsteigender Reihenfolge sortieren

\(5, 6, 6, 7, 7, 8\)

2. Die beiden mittleren Werte bestimmen
\(\not 5, 6, 6, 7, 7, \not 8\)
\(\not 5, \not 6, 6, 7, \not 7, \not 8\)

3. Mittelwert dieser beiden Werte bilden

\(\tilde x= \frac{6+7}{2}=6,5\)

Der Median ist \(\tilde x=6,5\).


(3.) Durch Formel

a) mit ungerader Anzahl n

Formel:
Berechnung des Platzes in der sortierten Datenreihe: $$\tilde x=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Beispiel:

5 Personen nennen ihr Alter \(\rightarrow\) 22, 21, 22, 23, 21

1. Zahlenreihe in aufsteigender Reihenfolge sortieren:
21, 21, 22, 22, 23

2. Benutzung der Formel um den Platz des Medians zu berechnen:
\( \begin{array}[h]{rl}
\tilde x & = x_{\frac{n+1}{2}}\\
& =x_{\frac{5+1}{2}}\\
& =x_{\frac{6}{2}}\\
&=x_3
\end{array}\)

3. Median bestimmen:
\begin{array}[h]{c|c|c|c|c|c}
&x_1&x_2&x_3&x_4&x_5\\
\hline
Alter&21&21&22&22&23\\
&&&\uparrow&&\\
\end{array}

\(\tilde x=22\)

Der Median ist \(\tilde x=22\).


b) mit gerader Anzahl n

Formel:
$$\tilde x=\frac{1}{2} \cdot (x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})$$

Beispiel:

6 Personen nennen ihr Alter \(\rightarrow\) 22, 21, 22, 23, 21, 21

1. Zahlenreihe in aufsteigender Reihenfolge sortieren:
21, 21, 21, 22, 22, 23

2. Benutzung der Formel:
\( \begin{array}[h]{rl}
\tilde x & = x_{\frac{n}{2}}\\
& =x_{\frac{6}{2}}\\
&=x_3
\end{array}\)

\( \begin{array}[h]{rl}
\tilde x & = x_{\frac{n}{2}+1}\\
& =x_{\frac{6}{2}+1}\\
&=x_4
\end{array}\)

\begin{array}[h]{c|c|c|c|c|c|c}
&x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6\\
\hline
Alter&21&21&21&22&22&23\\
&&&\uparrow&\uparrow&\\
\end{array}

\(\begin{array}[h]{rl}
\tilde x & =\frac{1}{2} \cdot (21+22)\\
& =\frac{1}{2} \cdot (43)\\
& =\frac{43}{2} \\
& =21,5
\end{array}\)

Der Median ist \(\tilde x=21,5\).

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