Kostenlose Lerninhalte · Thema 09
Integralfunktionenverstehen
Untersuche Funktionen, die durch ein Integral mit variabler Grenze definiert sind. Bestimme Funktionswerte und erkenne den Zusammenhang zwischen Integralfunktion und Integrand.
Integrale mit variabler Grenze verstehen
Die untere Grenze bleibt fest, die obere Grenze verändert sich. Jedem Wert von x wird dadurch ein Integralwert zugeordnet – so entsteht eine neue Funktion.
Die Grundidee: Für eine stetige Funktion f und eine feste untere Grenze a definieren wir: I(x) = ∫ₐˣ f(t) dt Dabei ist x die variable obere Grenze und t die Integrationsvariable. Mit einer Stammfunktion F von f kannst du schreiben: I(x) = F(x) − F(a) Die Integralfunktion beschreibt den orientierten Integralwert von a bis x. Auch negative Funktionswerte sind möglich.
Die wichtigsten Zusammenhänge
Für die oben definierte Integralfunktion mit stetigem Integranden f.
Funktionswerte berechnen
Setze den gesuchten x-Wert als obere Grenze ein und berechne das bestimmte Integral. Mit einer Stammfunktion gilt: I(x) = F(x) − F(a).
Am Startpunkt: I(a) = 0, weil beide Integrationsgrenzen gleich sind.
Die Ableitung erkennen
Die Ableitung der Integralfunktion ist wieder die ursprüngliche Funktion:
I′(x) = f(x)Der Funktionswert von f beschreibt also die Steigung der Integralfunktion I.
Den Graphen untersuchen
Ist f in einem Intervall positiv, steigt I dort. Ist f negativ, fällt I dort.
Wechselt f an einer Nullstelle das Vorzeichen, besitzt I dort einen Extrempunkt. Eine Nullstelle von f allein reicht dafür nicht aus.
Lernvideo zu Integralfunktionen
Verfügbarkeit eines eigenen Videos zu diesem Thema.
Zu Integralfunktionen ist hier aktuell noch kein eigenes Lernvideo verfügbar. In der Integralrechnung-Übersicht findest du die Videos zu den weiteren Themen.
Dein nächster Schritt
Videos ansehen oder strukturiert weiterlernen
Du möchtest ein Thema gezielt vertiefen oder dich Schritt für Schritt auf Klausuren und das Abitur vorbereiten? Nutze meine Videos, Skripte und Kurse passend zu deinem Lernziel.
Über 20 Jahre Erfahrung · Mathe Schritt für Schritt erklärt