Extrema berechnen [Variante 1: Mit f'(x) und f“(x)]

In diesem Beitrag lernst du einerseits was Extrema sind und andererseits, wie man diese mithilfe der ersten und zweiten Ableitung berechnet. Am Ende dieses Beitrages findest du außerdem eine kleine Zusammenfassung und eine Übung.


Benötigtes Vorwissen:
Funktionen ableiten
Lösungsstrategien: pq-Formel, Ausklammern-Methode, Substitution, …

Übersicht:


Graphische Bedeutung der Extrema:

Die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion
Die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion

Extrema sind die Hoch- und Tiefpunkte (bzw. Maxima und Minima) einer Funktion.

In diesen Punkten ändert sich die Steigung von steigend nach fallend (oder anders herum).

Ihre Berechnung ist Teil der Kurvendiskussion und kann mithilfe der ersten und zweiten Ableitung erfolgen.


In 4 Schritten zu den Koordinaten der Extrema

  1. $f'(x)$ und $f^{\prime\prime}(x)$ bilden
  2. notwendige Bedingung: $f'(x)=0$ → Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
  3. hinreichende Bedingung: $f^{\prime\prime}(x)\neq 0$ → Zuvor berechnete Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen und ausrechnen. Ergebnis deuten: $f^{\prime\prime}(x_0)>0$ → Tiefpunkt und $f^{\prime\prime}(x_0)<0$ → Hochpunkt
  4. y-Koordinate(n) berechnen → Nullstellen (aus Schritt 2) in die Ausgangsfunktion einsetzen und ausrechnen (Ergebnisse sind die zugehörigen y-Koordinaten)

Beispiel 1:

Berechne die Extremwerte der Funktion $f(x)=x^2+1$

1.)  $f'(x)$ und $f^{\prime\prime}(x)$ bilden

$f(x)=x^2+1$

$f'(x)=2x$

$f^{\prime\prime}(x)=2$

2.) notwendige Bedingung $f'(x)=0$
\begin{align*}
2x&=0&&\color{red}|\color{red}:\color{red}2\\
x&=0
\end{align*}

3.) hinreichende Bedingung $f^{\prime\prime}(x) \neq 0$

\begin{align*}
&&f^{\prime\prime}(x)&=2\\
&&f^{\prime\prime}(0)&=2&&\color{red}>\color{red}0\color{red}\rightarrow \color{red}T\color{red}P
\end{align*}

4.) y-Koordinate berechnen

$f(0)=0^2+1=1\rightarrow TP(0/1)$

Tiefpunkt
Tiefpunkt

Beispiel 2:

Berechne die Extremwerte der Funktion $f(x)=x^3+6x^2+4$

1.) $f'(x)$ und $f^{\prime\prime}(x)$ bilden

$f(x)=x^3+6x^2+4$

$f'(x)=3x^2+12x$

$f^{\prime\prime}(x)=6x+12$

2.) notwendige Bedingung $f'(x)=0$
\begin{align*}3x^2+12x&=0&&\color{red}|\color{red}(\color{red})\\
x\cdot(3x+12)&=0&&\color{red}|\color{red}S\color{red}v\color{red}N\color{red}P\\\\
\rightarrow x=0 &&3x+12&=0&&\color{red}|\color{red}-\color{red}1\color{red}2\\
&&3x&=-12&&\color{red}|\color{red}:\color{red}3\\&&x&=-4\end{align*}

3.) hinreichende Bedingung $f^{\prime\prime}(x) \neq 0$

$f^{\prime\prime}(x)=6x+12\\$
$f^{\prime\prime}(0)=6\cdot0+12=12\color{red}>\color{red}0\color{red}\rightarrow \color{red}T\color{red}P\\$
$f^{\prime\prime}(-4)=6\cdot(-4)+12=-12\color{red}<\color{red}0 \color{red}\rightarrow \color{red}H\color{red}P$

4.) y-Koordinate berechnen

$f(0)=0^3+6\cdot0^2+4=4 \hspace{1cm}\rightarrow TP(0/4)\\$
$f(-4)=(-4)^3+6\cdot(-4)^2+4=36 \hspace{1cm}\rightarrow HP(-4/36)$

Extrema
Extrema


Übungsaufgaben:

1. Berechne die Extrema von $f(x)=3x^2+6$ (Lösung anzeigen *klick*)

1.)  $f'(x)$ und $f^{\prime\prime}(x)$ bilden

$f(x)=3x^2+6$

$f'(x)=6x$

$f^{\prime\prime}(x)=6$

2.) notwendige Bedingung $f'(x)=0$
\begin{align*}6x&=0&&\color{red}|\color{red}:\color{red}6\\
x&=0
\end{align*}

3.) hinreichende Bedingung $f^{\prime\prime}(x) \neq 0$

\begin{align*}
&&f^{\prime\prime}(x)&=6\\
&&f^{\prime\prime}(0)&=6&& \color{red}>\color{red}0\color{red}\rightarrow \color{red}T\color{red}P
\end{align*}

4.) y-Koordinate berechnen

$f(0)=3\cdot0^2+6=6\rightarrow TP(0/6)$

[collapse]

 

2. Berechne die Extrema von $f(x)=x^3+9x^2+1$ (Lösung anzeigen *klick*)

1.) $f'(x)$ und $f^{\prime\prime}(x)$ bilden

$f(x)=x^3+9x^2+1$

$f'(x)=3x^2+18x$

$f^{\prime\prime}(x)=6x+18$

2.) notwendige Bedingung $f'(x)=0$
\begin{align*}3x^2+18x&=0&&&& \color{red}|\color{red}(\color{red})\\
x\cdot(3x+18)&=0&&&&  \color{red}|\color{red}S\color{red}v\color{red}N\color{red}P\end{align*}
\begin{align*}&x=0&3x+18&=0&&\color{red}|\color{red}-\color{red}1\color{red}8\\
&&3x&=-18&&\color{red}|\color{red}:\color{red}3\\&&x&=-6
\end{align*}

3.) hinreichende Bedingung $f^{\prime\prime}(x) \neq 0$

\begin{align*}
f^{\prime\prime}(x)&=6x+18\\
f^{\prime\prime}(0)&=6\cdot0+18=18&&\color{red}>\color{red}0\color{red}\rightarrow \color{red}T\color{red}P\\
f^{\prime\prime}(-6)&=6\cdot(-6)+18=-18&&\color{red}<\color{red}0 \color{red}\rightarrow \color{red}H\color{red}P
\end{align*}

4.) y-Koordinate berechnen

$f(0)=0^3+9\cdot0^2+1=1 \hspace{1cm}\rightarrow TP(0/1)\\$
$f(-6)=(-6)^3+9\cdot(-6)^2+1=109\hspace{1cm}\rightarrow HP(-6/109)$

[collapse]


Zusammenfassung:

Extrema = Hoch-/Tiefpunkte

Entscheidungsregel:

Hochpunkt $\rightarrow$
$f'(x)=0$ und $f^{\prime\prime}(x)<0$
Tiefpunkt $\rightarrow$
$f'(x)=0$ und $f^{\prime\prime}(x)>0$

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TI-inspire cx: Nullstellen „zeros“

In diesem Artikel erkläre ich dir wie man mit dem TI-inspire cx eine Funktion definiert, dann, wie man die Nullstellen dieser Funktion mit dem Befehl „zeros“ bestimmt.

Funktion mit dem TI-inspire cx definieren:

Eingabe:

  1. [FUNKTIONSNAME]   oft f,g oder h
  2. Klammer auf
  3. [VARIABLENNAME]   oft x oder t
  4. Pfeil rechts
  5. ctrl
  6. rechte Taste neben der 9
  7. [FUNKTIONSGLEICHUNG]
  8. enter

Nullstellen mit zeros berechnen:

Eingabe:

  1. zeros([FUNKTIONSNAME],[VARIABLENNAME])    z.B. zeros(f(x),x)
  2. enter

Das Ergebnis ist die Nullstelle der vorher definierten Funktion.

Ist das Ergebnis eine leere Menge ({}) dann heißt das, dass die Funktion keine Nullstellen besitzt.

>>>Hier kommst du zum YouTube-Video<<<

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Achsensymmetrie zur y-Achse

In diesem Artikel erkläre ich dir die Achsensymmetrie zur y-Achse. Als erstes veranschauliche ich sie graphisch, dann zeige ich dir einen kleinen Trick mit dem du sofort erkennen kannst, ob eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch ist und als letztes zeige ich dir, wie man mathematisch die Achsensymmetrie nachweist.

Graphische Erklärung

achsensymmetrischer Graph

Dieser Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Warum?

achsensymmetrischer Graph

Wie du siehst, dient die y-Achse als eine Spiegelachse. Wenn also rechts und links dieser Achse der Funktionsgraph exakt gleich aussieht, dann gehört dieser Graph zu einer achsensymmetrischen Funktion. Hierbei sagt man, dass die Funktion spiegelsymmetrisch zur y-Achse ist.

Achsensymmetrie zur y-Achse bei ganzrationalen Funktion

Bei einer ganzrationalen Funktion genügt ein einziger Blick auf die Exponenten (Hochzahlen) um zu entscheiden, ob die vorliegende Funktion achsensymmetrisch ist, denn es gilt:

Die Funktion

f(x) = x4 + 5x2 -1

ist achsensymmstrisch, denn die Exponenten (4 und 2) sind ausschließlich gerade Zahlen!

Die Funktion

f(x) = x4 + 2x3 + 5x2 -1

ist NICHT achsensymmetrisch, da sie einen ungeraden Exponenten (3) hat!

Mathematischer Nachweis für Symmetrie zur y-Achse:

f(x) = f(-x)

Natürlich gibt es einen mathematischen Nachweis für achsensymmetrische Funktionen.

Hierzu bildet man f(-x) und vergleicht dieses Ergebnis mit der Ausgangsfunktion. Stimmen die gebildete Funktion und die Ausgangsfunktion überein, dann ist die vorliegende Funktion symmetrisch zur y-Achse, andernfalls nicht.

Doch wie wird f(-x) gebildet?

Hierzu ersetzt man jedes vorkommdende x in der Ausgangsfunktion durch -x. Dieser Ausdruck wird dann vereinfacht. Beachte bitte, dass beim Vereinfachen die Potenzen Vorrang haben. Wenn man also 2(-x)4 vereinfachen soll, dann liegt das erste Augenmerk auf (-x)4. (-x)4 steht für (-x)•(-x)•(-x)•(-x) und dies ergibt x4. Das Ganze mit zwei multipliziert ist 2x4

Beispiele:

f(x) = 3x4 + 5x2 + 2

f(-x) = 3(-x)4 + 5(-x)2 + 2 = 3x4 + 5x2 + 2

Da hier f(x) = f(-x) gilt, ist die vorliegende Funktion symmetrisch zur y-Achse!

f(x) = 4x4 – 6x3 + 7x2 – 3x -1

f(-x) = 4(-x)4 – 6(-x)3 + 7(-x)2 – 3(-x) -1

= 4x4 + 6x3 + 7x2 + 3x -1

Bei diesem Beispiel stimmen f(x) und f(-x) nicht überein. Diese Funktion ist also nicht symmetrisch zur y-Achse!

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Mit dem TI-inspire cx eine Wertetabelle erstellen

In diesem Artikel erkläre ich dir wie man mit dem TI-inispire cx eine Funktion definiert, dann, wie man eine Wertetabelle erstellt und als letztes wie man die Schrittweite der Tabelle verändert.

Funktion mit dem TI-inspire cx definieren:

Eingabe:

  1. [FUNKTIONSNAME]   oft f,g oder h
  2. Klammer auf
  3. [VARIABLENNAME]   oft x oder t
  4. Pfeil rechts
  5. ctrl
  6. rechte Taste neben der 9
  7. [FUNKTIONSGLEICHUNG]
  8. enter

Neues Dokument eröffnen:

Eingabe:

  1. doc
  2. Einfügen
  3. Lists & Spreadsheet

Mit dem TI-inspire cx eine Wertetabelle erstellen:

Eingabe:

  1. Menü
  2. Wertetabelle
  3. Zu Wertetabelle wechseln
  4. Vorher definierte Funktion auswählen

Schrittweite verändern:

Eingabe:

  1. Menü
  2. Wertetabelle
  3. Funktionseinstellungen bearbeiten
  4. neue Schrittweite eingeben
  5. Ok

 

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Punktsymmetrie zum Ursprung

In diesem Artikel erkläre ich dir die Punktsymmetrie zum Ursprung. Als erstes veranschauliche ich sie graphisch, dann zeige ich dir einen kleinen Trick mit dem du sofort erkennen kannst, ob eine ganzrationale Funktion punktsymmetrisch ist und als letztes zeige ich dir, wie man mathematisch die Punktsymmetrie nachweist.


Übersicht:


Graphische Erklärung

punktsymmetrischer Graph

Dieser Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Warum?

punktsymmetrischer Graph

Wie du vielleicht siehst, dient der Ursprung als eine Art Drehzentrum. Wenn man also den Funktionsgraph um 180° (=Halbkreis) um den Ursprung dreht und der daraus resultierende Graph dann deckungsleich mit dem Ausgangsgraphen ist, dann gehört dieser Graph zu einer punktsymmetrischen Funktion.


Punktsymmetrie zum Ursprung bei ganzrationalen Funktion

Bei einer ganzrationalen Funktion genügt ein einziger Blick auf die Exponenten (Hochzahlen) um zu entscheiden, ob die vorliegende Funktion punktsymmetrisch ist, denn es gilt:

Punktsymmetrie zum Ursprung

Die Funktion

$f(x)=x^3+2x$

ist punktsymmstrisch, denn die Exponenten („3“ und „1“) sind ausschließlich ungerade Zahlen!

Die Funktion

$f(x)=2x^3+3x^2-5x+1$

ist NICHT punktsymmetrisch, da sie einen geraden Exponenten (2) und ein Absolutglied (Zahl die mit keiner Potenz von x multipliziert wird) hat!

 


Mathematischer Nachweis für Symmetrie zum Ursprung:

$f(-x) = -f(x)$

Natürlich gibt es einen mathematischen Nachweis für punktsymmetrische Funktionen.

Hierzu bildet man $f(-x)$ und vergleicht dieses Ergebnis mit $-f(x)$. Stimmen die beiden gebildeten Funktionen überein, dann ist die vorliegende Ausgangsfunktion symmetrisch zum Ursprung, andernfalls nicht.

Doch wie wird $f(-x)$ gebildet?

Hierzu ersetzt man jedes vorkommdende $x$ in der Ausgangsfunktion durch $-x$. Dieser Ausdruck wird dann vereinfacht. Beachte bitte, dass beim Vereinfachen die Potenzen Vorrang haben. Wenn man also $2(-x)^3$ vereinfachen soll, dann liegt das erste Augenmerk auf $(-x)^3$. $(-x)^3$ steht für $(-x)\cdot(-x)\cdot(-x)$ und dies ergibt $-x^3$. Das Ganze mit zwei multipliziert ist $-2x^3$, weil etwas Negatives mal etwas Positives insgesamt negativ ist.

Wie wird $-f(x)$ gebildet?

Hierzu schreibt man ein Minus-Zeichen vor die komplette Ausgangsfunktion, indem die Ausgangsfunktion in Klammern gesetzt wird!


Beispiele:

\begin{align*}f(x)&=3x^3+5x\\\\f(-x)&=3\cdot(-x)^3+5\cdot(-x)=-3x^3-5x\\\\-f(x)&=-(3x^3+5x)=-3x^3-5x \end{align*}

Da hier f(-x) = -f(x) gilt, ist die vorliegende Funktion symmetrisch zum Ursprung!

\begin{align*}f(x)&=4x^4-6x^3+7x^2-3x-1\\\\f(-x)&=4\cdot(-x)^4-6\cdot(-x)^3+7\cdot(-x)^2-3\cdot(-x)-1\\&=4x^4+6x^3+7x^2+3x-1\\\\-f(x)&=-(4x^4-6x^3+7x^2-3x-1)\\&=-4x^4+6x^3-7x^2+3x+1 \end{align*}

Bei diesem Beispiel stimmen f(-x) und -f(x) nicht überein. Diese Funktion ist also nicht symmetrisch zum Ursprung!


Übungsaufgaben:

1. Entscheide anhand der Exponenten, welche der Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung sind a)$f(x)=3x^2+6$ b) $g(x)=3x^3+4x$ $c) h(x)=2x^3+4x+1$ (Lösung anzeigen *klick*)

a) f(x) hat den Exponenten 2 und ein Absolutglied (=reine Zahl). Da punktsymmetrische Funktionen nur ungerade Exponenten haben dürfen und kein Absolutglied, ist f(x) nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

b) g(x) hat die Exponenten 3 und 1 und kein Absolutglied (=reine Zahl). Da punktsymmetrische Funktionen nur ungerade Exponenten haben dürfen und kein Absolutglied, ist g(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.

c) h(x) hat die Exponenten 3 und 1 und ein Absolutglied (=reine Zahl). Da punktsymmetrische Funktionen nur ungerade Exponenten haben dürfen und kein Absolutglied, ist h(x) nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Das Absolutglied verhindert somit die Punktsymmetrie zum Ursprung.

[collapse]

 

2. Zeige durch Rechnung, dass $g(x)=3x^3+4x$ punktsymmetrisch zum Urspung ist (Lösung anzeigen *klick*)

$g(x)=3x^3+4x$

1. Schritt: $g(-x)$ bilden:

\begin{align*}g(-x)&=3(-x)^3+4(-x)\\&=-3x^3-4x\\\end{align*}

2. Schritt: $-g(x)$ bilden:

\begin{align*}-g(x)&=-(3x^3+4x)\\&=-3x^3-4x\\\end{align*}

3.Schritt: $g(-x)$ und $-g(x)$

$g(-x)$ und $-g(x)$ sind gleich, somit ist die Funktion $g(x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung

[collapse]

Zusammenfassung:

  • Punktsymmetrie zum Ursprung = Drehung um 180° mit dem Punkt (0/0) als Drehzentrum
  • ganzrationale Funktionen, die zum Ursprung punktsymmetrisch sind, haben ausschließlich ungerade Exponenten und kein Absolutglied
  • rechnerischer Nachweis: $f(-x)=-f(x)$

weitere Hilfreiche Artikel:

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TI-inspire cx: Funktion definieren und Funktionswerte berechnen

In diesem Artikel erkläre ich dir wie man mit dem TI-inspire cx eine Funktion definiert, dann, wie man Funktionswerte bestimmt und als letztes wann und warum es sinnvoll ist eine Funktion überhaupt zu definieren.

Funktion mit dem TI-inspire cx definieren:

Eingabe:

  1. [FUNKTIONSNAME]   oft f,g oder h
  2. Klammer auf
  3. [VARIABLENNAME]   oft x oder t
  4. Pfeil rechts
  5. ctrl
  6. rechte Taste neben der 9
  7. [FUNKTIONSGLEICHUNG]
  8. enter

Funktionswerte mit dem TI-inspire cx berechen (y-Koordinaten):

Eingabe:

  1. [FUNKTIONSNAME]   oft f,g oder h
  2. Klammer auf
  3. Zahl der x Koordinate
  4. enter

Vorteile:

 

Da die definierte Funktion nun fest in diesem Taschenrechner eingespeichert ist, muss man sie zum Beispiel nicht nocheinmal eintippen, wenn man den Graphen zeichnen möchte. Der große Vorteil davon liegt also darin, dass Zeit und Arbeit eingespart werden können!

 

Schaue dir das ganze Video auf Youtube an:

>>>Hier kommst du zum Video<<<

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Erwartungswert ohne Einsatz | Erklärung und Beispiel

In diesem Artikel erkläre ich dir wie man den Erwartungswert ohne Einsatz bestimmt. Hierzu habe ich ein anschauliches Beispiel vorbereitet, an dem ich das Vorgehen bei der Bestimmung erkläre. Danach erkläre ich noch die mathematische Formel.

Was du vorher wissen solltest:

Was ist der Erwartungswert?

Erklärung Erwartungswert ohne Einsatz an einem Beispiel:

Situation:

Dieses Glücksrad wird gedreht und je nachdem wo es stehen bleibt erhält der Spieler einen Gewinn.

Wenn das Glücksrad auf Rot stehen bleibt geht der Spieler allerdings leer aus und erhält nichts. Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn des Spielers in Euro an.

Frage: Wieviel Euro Gewinn kann der Spieler durchschnittlich auf lange Sicht pro Spiel erwarten?

Lösung: Für den Erwartungswert brauchen wir zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung!

Zunächst legen wir also eine korrekt beschriftete Tabelle an. Die erste Zeile wird mit den möglichen Ausgängen der Zufallsvariable beschriftet (Erklärung: Wahrscheinlichkeitsverteilung)! Hier sind es die möglichen Gewinne, die der Spieler erhalten kann.

Nun ermitteln wir die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und tragen diese in die Tabelle ein:

Die Farbe rot hat die Wahrscheinlichkeit 50%, als Dezimalzahl also 0,5. Wenn des Glücksrad auf rot stehen bleibt, erhält der Spieler nichts, also trage ich die 0,5 unter die Null ein. Geld und Grün haben beide die Wahrscheinlichkeit 25%, als Dezimalzahl dann 0,25 und diese Zahlen trage ich nun unter die 1 und die 5 ein.

Das ist die vollständig ausgefüllte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der wir nun den Erwartungswert berechnen.

Die Berechnung ist nun nicht mehr schwer, denn die möglichen Merkmale der Zufallsvariable werden mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert und diese dann addiert.

Umgangssprachlich würde man es wohl so formulieren:

„Oben mal unten + oben mal unten +…“ bis man auch die letzte Spalte verechnet hat.

Der Erwartungswert wird häufig mit dem griechischen Buchstaben µ oder mit E(x) gekennzeichnet!

Die Rechnung lautet also:

µ = 0 • 0,5 +1 • 0,25 + 5 • 0,25 = 1,5

Der Erwartungswert ist bei diesem Beispiel also 1,5. Da der Erwartungswert immer die selbe Einheit wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, steht in diesem Sachkontext die 1,5 für 1,50€.

Antwort: Der Spieler kann auf lange Sicht durchschnittlich einem Gewinn von 1,50€ erwarten.

Mathematische Definition von Erwartungswert:

Die mathematische Formel sieht zunächst komplizierter aus als sie eigentlich ist, denn X1 bis Xn sind nichts anderes als die möglichen Ausgprägungen der Zufallsvariable. Diese standen oben in der Wahrscheinlichkeitsverteilung und werden mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Die erste Ausprägung X1 also mit P(X = X1), die zweite dann mit P(X = X2), bis man schließlich bei der letzten Ausprägung (diese wird mit Xn bezeichnet) angekommen ist.

Diese Formel beschreibt also genau das Vorgehen, welches ich dir am Beispiel erklärt habe!

Hilfreiche Tipps:

1. In der Aufgabenstellung habe ich folgende Formulierung gewählt:

„Wieviel Euro Gewinn kann der Spieler durchschnittlich auf lange Sicht pro Spiel erwarten?“

Die Wörter „durchschnittlich“ „auf lange Sicht“ und „pro …“ sind Signalwörter, die dir sofort sagen sollten, dass du nun die Aufgabe hast den Erwartungswert zu berechnen!

2. Da der Erwartungswert häufig in dem Sachkontext gedeutet werden soll, bietet es sich auch an genau diese Signalwörter zu verwenden!

3. Der Erwartungswert hat immer die selbe Einheit wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. wie die Zufallsgröße

 

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Wahrscheinlichkeitsverteilung: Erklärung und Beispiel

In diesem Artikel erkläre ich dir was die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, wie man sie erstellt und natürlich auch wofür sie dient. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird oft auch einfach nur Verteilung genannt. Hierzu werde ich sie zunächst mathematisch definieren und sie anschließend an einem einfachen Beispiel erklären. Als letztes gibt es noch hilfreiche Tipps zur Erstellung!

Was du vorher wissen solltest:

Mathematische Definition einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Definition Wahrscheinlichkeitsverteilung

Erklärung der Wahrscheinlichkeitsverteilung an einem Beispiel:

Aufgabentext: Stell dir bitte diese Hündin namens Ria vor. Ria bekommt drei Welpen. Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Rüden beträgt 40%. Die Zufallsgröße X beschriebt die Anzahl an männlichen Nachkommen, die diese Hündin bekommt.

Aufgabenstellung: Stelle für diesen Sachverhalt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf!

Lösung: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich immer besonders gut als eine Tabelle darstellen, die in der ersten Zeile die möglichen Ausprägungen der Zufallsgröße X hat und in der zweiten Zeile die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Aus der Aufgabenstellung entnehmen wir was die Zufallsgröße X ist. In diesem Fall die Anzahl an männlichen Nachkommen. Hier müssen wir uns nun überlegen wieviele Rüden diese Hündin bekommen kann, wenn sie denn 3 Junge bekommt. Sie kann doch keinen Rüden bekommen, also Null (und diese Null wird häufig vergessen!), einen, zwei oder drei Rüden. Genau mit diesen Zahlen beschriften wir die obere Zeile der Tabelle!

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Nun suchen wir die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten!

Als erstes beginnen wir mit der Wahrscheinlichkeit für 0 Rüden!

P(X=0):

Als kleine Hilfe können wir ein Baumdiagramm zeichnen.

Baumdiagramm

Da wir nun die Wahrscheinlichkeit für 0 Rüden suchen, also für drei Weibchen, betrachten wir den äußeren Ast.

Baumdiagramm

Wir rechnen also:

P(w,w,w) = 0,6 • 0,6 • 0,6 = 0,63 = 0,216

Diese Wahrscheinlichkeit tragen wir in die Tabelle unter die Null ein, da sie die Wahrscheinlichkeit für Null Rüden ist.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Genauso gehen wir jetzt bei der Suche nach der Wahrscheinlichkeit für einen, zwei und drei Rüden vor.

Ich mache es dir noch einmal für einen Rüden vor!

P(X=1):

Wir suchen zunächst am Baumdiagramm die passenden Äste:

Baumdiagramm

Wie du siehst, suchen wir nun die Wahrscheinlichkeit von diesen drei Ästen!

P(m,w,w) + P(w,m,w) + P(w,w,m)

= 3 0,4 0,6 0,6 = 0,432

Jeder einzelne Ast hat die Wahrscheinlichkeit 0,4 • 0,6 • 0,6, also konnte ich diese Wahrscheinlichkeit mit 3 multiplizieren (in der Multiplikation gilt das Kommutativgesetz!).

Auch diese Zahl wird in die Tabelle eingetragen. Da es dir Wahrscheinlichkeit von einem Rüden war, trage ich die 0,432 direkt unter die 1 ein:

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die vollständig ausgefüllte Tabelle sieht dann so aus:

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Hier siehst du nochmal alle Rechnungen auf einen Blick:

Übersicht Wahrscheinlichkeitsverteilung

Diese ausgefüllte Tabelle nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung!

Hilfreiche Tipps zur Erstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:

1. Du musst nicht unbedingt ein Baumdiagramm erstellen. Wenn du es kannst, dann reicht es wenn du die Kombinationsmöglichkeiten aufschreibt und davon dann die Wahrscheinlichkeiten bestimmst, diese addierst und dann in die Tabelle einträgst. (So wie ich es auf dem Bild hier drüber gemacht habe)

2. Du kannst deine Wahrscheinlichkeiten überprüfen, denn addiert müssen sie 1 ergeben. Hier also:

0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1

3. Genau genommen reicht es, wenn du alle Wahrscheinlichkeiten bis auf eine bestimmst, denn diese anderen kannst du von der 1 abziehen und erhältst die letzte Wahrscheinlichkeit!

4. Die äußeren Wahrscheinlichkeiten sind immer leichter zu bestimmen, da sie häufig nur mit Hilfe eines Astes eines Baumdiagramms berechnet werden. Wenn du also den dritten Tipp berücksichtigst, dann würde ich ein Feld in der Mitte frei lassen und seine Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Tricks bestimmen!

 

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Baumdiagramm: Ziehen ohne Zurücklegen

In diesem Artikel erkläre ich dir, wie du ein Baumdiagramm für „Ziehen ohne Zurücklegen“ erstellst. Hierbei klären wir zunächst, was „Ziehen ohne Zurücklegen“ überhaupt bedeutet, dann zeige ich dir an einem Beispiel, wie du für diesen Sachverhalt ein Baumdiagramm erstellst. Als letztes gehe ich nochmals auf die beiden Rechenregeln, die es an einem Baumdiagramm gibt, also die „Pfadmultiplikation“ und die „Summenregel“ ein, indem ich sie bei einem Beispiel anwende.

Was du vorher wissen solltest:

Ziehen ohne Zurücklegen:

Im letzten Artikel habe ich dir ja schon erklärt, was „Ziehen mit Zurücklegen“ bedeutet. „Ziehen ohne Zurücklegen“ möchte ich dir auch wieder an einer Urne in der rote und blaue Kugeln enthalten sind, erklären. „Ziehen ohne Zurücklegen“ heißt eigenlich nur, dass eine Kugel, die einmal aus einer Urne entnommen wurde, nicht wieder zurückgelegt wird. Oder aber, etwas allgemeiner ausgedrückt, dass nie wieder die Ausgangssituation hergestellt wird und dass sich von Stufe zu Stufe die Wahrscheinlichkeiten ändern. Warum ist das so? Schauen wir uns hierzu diese Urne an:

Urne mit Kugeln

Wie du siehst  beinhaltet diese Urne 3 rote und 2 blaue Kugeln. Insgesamt sind als 5 Kugeln vorhanden. Wenn wir jetzt zum Beispiel eine rote Kugel ziehen, dann hat diese rote Kugel die relative Häufigkeit von \frac {3}{5}, da 3 von 5 Kugeln rot sind.

Urne mit Kugeln

Diese Kugel legen wir nun nicht mehr in die Urne zurück, also sind in dieser Urne nun 2 rote und 2 blaue Kugeln (eine rote fehlt). Jetzt haben die möglichen Ausgänge also andere Wahrscheinlichkeiten. Zum einen hat sich die Gesamtzahl verringert, zum anderen die Anzahl an roten Kugeln. Die nächste rote Kugel hat also nicht mehr die Wahrscheinlichkeit \frac {3}{5}, sondern \frac {2}{4} (gekürzt \frac {1}{2}), da nun 2 von 4 Kugeln rot sind.

Der große Unterschied zum „Ziehen mit Zurücklegen“ ist also, dass nicht mehr jede Stufe eines Experimentes die selbe Wahrscheinlichkeit hat. Hier ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Zug zu Zug.

Urne mit Kugeln

Erstellung eines Baumdiagramms:

Die Erstellung eines Baumdiagramms möchte ich dir nun anhand dieser Urne erklären.

Aus dieser Urne ziehen wir nun eine Kugel, legen die erste Kugel aber nicht zurück in die Urne. Wir erstellen somit ein Baumdiagramm für „Ziehen mit Zurücklegen“:

1. Als erstes überlegen wir uns wieviele verschiedene Möglichkeiten dieser Zug hat! In diesem Fall sicherlich zwei, denn wir können eine rote oder eine blaue Kugel ziehen. Das heißt, dass wir nun zwei Abzweigungen brauchen (allgemein: eben genau gleich viele Abzweigungen wie Möglichkeiten).

Erstellung Baumdiagramm

Wie du siehst besteht bei diesem Vorgehen noch gar kein Unterschied zu „Ziehen mit Zurücklegen“.

2. Nachdem wir nun die Anzahl der Abzweigungen ermittelt haben, werden die Enden dementsprechend beschriftet. Eine Abzweigung steht für den Ausgang rot, die Andere für blau.

Erstellung Baumdiagramm

Alternativ zu zwei farbigen Punkten, kannst du bei dieser Situation auch wieder gerne mit einem r und einem b beschriften.

Auch hier ist noch kein Unterschied zu „Ziehen mit Zurücklegen“.

3. Nun werden die relativen Häufigkeiten an die Seite der jeweiligen Äste hingeschrieben.

Erstellung Baumdiagramm

In diesem Fall hat die rote Kugel die relative Häufigkeit \frac {3}{5}, da drei von fünf Kugeln rot sind und die blaue Kugel \frac {2}{5}, da zwei von fünf Kugeln blau sind.

Die erste von zwei Ziehungen ist nun beendet und wir sind genau wie bei „Ziehen mit Zurücklegen“ vorgegangen. Nun starten wir mit der zweiten Ziehung und hier fängt der unterschiedliche Ansatz zu „Ziehen mit Zurücklegen“ an, denn nun stellen wir nicht wieder die Ausgangsituation her!

Was sich allerdings nicht ändert, ist, dass wir immernoch jeweils eine rote oder eine blaue Kugel ziehen können, ganz unabhängig davon was als erstes gezogen wurde. Also ergänzen wir dieses Baumdiagramm mit jeweils zwei Ästen, die wir wieder mit rot und blau beschriften!

Bei den relativen Häufigkeiten musst du nun aufpassen, denn sie unterscheiden sich nicht nur von den Wahrscheinlichkeiten der ersten Stufe, sie unterscheiden sich auch bei beiden Abzweigungen bei der zweiten Stufe.

Erstellung Baumdiagramm

Die linke Seite steht dafür, dass im Vorfeld eine rote Kugel gezogen wurde, das heißt, dass nun 2 von 4 Kugeln rot sind und 2 von 4 blau. Also ist die relative Häufigkeit sowohl von rot als auch von blau \frac {2}{4} bzw. gekürzt \frac {1}{2} (wobei ich an einem Baumdiagramm zunächst nicht kürze).

Erstellung Baumdiagramm

Auf der rechten Seite haben wir auf der ersten Stufe eine blaue Kugel entnommen. Das heißt, dass wir auch hier wieder 4 Kugeln insgesamt haben, allerdings sind davon drei rot und nur eine blau. Also ist hier die relative Häufigkeit von rot \frac {3}{4} und von blau \frac {1}{4}.

Erstellung Baumdiagramm Ziehen ohne Zurücklegen

Dies ist nun das vollständig ausgefüllte Baumdiagramm! Wie du siehst fängt der Unterschied zwischen „Ziehen mit Zurücklegen“ und „Ziehen ohne Zurücklegen“ auf der zweiten Stufe bzw. beim zweiten Zug an.

Unterschied Baumdiagramm für Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Rechenbeispiele an diesem Baumdiagramm:

Beispiel 1: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von zwei roten Kugeln

Summenregel

P(r,r) = P(Summenregel,Pfadmultiplikationsregel) = \frac {3}{5} x \frac {2}{4} = \frac {6}{20} = \frac {3}{10}

Endwahrscheinlichkeiten werden, wie ich dir schon im letzten Artikel erklärt habe, mit der Pfadmultiplikationsregel ermittelt.

Beispiel 2: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von einer blauen Kugel

Wie du siehst handelt es sich um zwei verschiedene Äste von denen wir nun die Endwahrscheinlichkeiten jeweils mit der Produktregel berechnen und diese dann mithilfe der Summenregel addieren. Die Formulierung „eine blaue Kugel“ sagt ja keinesfalls aus, dass diese Kugel als erstes gezogen werden muss. Diese blaue Kugel kann offensichtlich als erstes oder als zweites gezogen werden, sodass es genau diese beiden Äste sind, von denen wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen:

P(r,b) = P(,) = \frac {3}{5} x \frac {2}{4} = \frac {6}{20} = \frac {3}{10}

P(b,r) = P(,) = \frac {2}{5} x \frac {3}{4} = \frac {6}{20} = \frac {3}{10}

P(,) + P(,) = \frac {3}{10} + \frac {3}{10} = \frac {6}{10} = \frac {3}{5}

 

Einen kleinen Tipp habe ich noch:

Beim „Ziehen ohne Zurücklegen“ ändert sich die Gesamtzahl von Stufe zu Stufe um eins. Das heißt, dass, wenn auf der ersten Stufe 5 Kugeln vorhanden waren, dann sind es auf der zweiten Stufe 4. Wenn wir sogar ein drittes Mal ziehen würden, dann wären es dort 3. Beim 4. Zug dann zwei und beim 5. Zug dann eine Kugel. Mir persönlich hilf es immer so zu starten, dass ich als erstes ein unausgefülltes Baumdiagramm zeichne, dann auf jeder Stufe die Gesamtheit unter dem Bruch eintrage (das ist übrigens der Grund warum sich Brüche zur Beschriftung besser eignen als Dezimalzahlen).

Das sieht dann erst so aus:

Tipp Baumdiagramm

Erst als letztes kümmere ich mich um die Zähler der jeweiligen Brüche, indem ich mir stets die Frage stelle, wieviele Kugeln (hier zumindest Kugeln) der jeweiligen Farbe noch vorhanden sind!

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Baumdiagramm: Ziehen mit Zurücklegen

In diesem Artikel erkläre ich dir zunächst was ein Baumdiagramm ist, dann wie und warum man es in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet und anschließend, wie ein Baumdiagramm für den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“ erstellt wird. Als letztes erkläre ich dir die beiden wesentlichen Rechenregeln an einem Baumdiagramm.

Was du vorher wissen solltest:

Was ist ein Baumdiagramm?

Baumdiagramm

Baumdiagramme in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Sie werden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bei mehrstufigen Zufallsexperimenten eingesetzt, da sie dabei helfen einen guten Überblick zu behalten. Ein Baumdiagramm, welches dann mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ergänzt wird, nennt man dementsprechend in der Wahrscheinlichkeitsrechnung auch Wahrscheinlichkeitsbaum. Diese Wahrscheinlichkeiten werden in der Regel als Bruch oder Dezimalzahl angegeben.

Was bedeutet: „Ziehen mit Zurücklegen“?

Wie ich schon erwähnt habe, werde ich dir heute in diesem Artikel das Baumdiagramm für „Ziehen mit Zurücklegen“ erklären. Dazu schauen wir uns zunächst an, was „Ziehen mit Zurücklegen“ bedeutet.

Urne: Ziehen mit Zurücklegen

Hierfür habe ich eine Urne vorbereitet. In dieser Urne sind, wie du siehst, rote und blaue Kugeln. Die relative Häufigkeit für eine rote Kugel ist somit \frac {3}{5} und für eine blaue \frac {2}{5}.

 P(„rot”) = \frac {3}{5}

P(„blau”) = \frac {2}{5}

Jede Kugel, die wir nun aus dieser Urne ziehen werden, legen wir wieder zurück, sodass nach jedem Zug die Ausgangssituation hergestellt wird. Das heißt also, dass sich die Wahrscheinlichkeiten von den Ausgängen im Gegensatz zu „Ziehen ohne Zurücklegen“ nie, also auch nicht beim zweiten oder dritten Zug, ändern, da zu jedem Zieh-Zeitpunkt 3 von 5 Kugeln rot und 2 von 5 blau sind.

Erstellung eines Baumdiagramms:

Die Erstellung eines Baumdiagramms möchte ich dir nun anhand dieser Urne erklären. Aus dieser Urne ziehen wir nun eine Kugel, legen sie zurück in die Urne und ziehen dann eine zweite Kugel, also für „Ziehen mit Zurücklegen“:

1. Als erstes überlegen wir uns wieviele verschiedene Möglichkeiten dieser Zug hat! In diesem Fall sicherlich zwei, denn wir können eine rote oder eine blaue Kugel ziehen. Das heißt, dass wir nun zwei Abzweigungen brauchen (allgemein: eben genau gleich viele Abzweigungen wie Möglichkeiten).

Baumdiagramm Erstellung

Am Anfang dieser Abzweigung schreibt man gerne die Ausgangssituation hin. Hier steht r für rot und b für blau.

2. Nachdem wir nun die Anzahl der Abzweigungen ermittelt haben, werden die Enden dementsprechend beschriftet. Eine Abzweigung steht für den Ausgang rot, die Andere für blau.

Baumdiagramm Erstellung

Alternativ zu zwei farbigen Punkten, kannst du bei dieser Situation auch wieder gerne mit einem r und einem b beschriften.

3. Nun werden die relativen Häufigkeiten an die Seite der jeweiligen Äste hingeschrieben.

Baumdiagramm Erstellung

In diesem Fall hat die rote Kugel die relative Häufigkeit \frac {3}{5}, da drei von fünf Kugeln rot sind und die blaue Kugel \frac {2}{5}, da zwei von fünf Kugeln blau sind.

Die erste von zwei Ziehungen ist nun beendet! Nun starten wir mit der zweiten Ziehung und beginnen diese drei Schritte von vorne!

Wir überlegen uns wieder wieviele Möglichkeiten wir nun haben, denn das entspricht ja der Anzahl an Ästen. Wenn wir vorher eine rote oder eine blaue Kugel gezogen haben (diese haben wir wieder zurückgelegt), haben wir wieder jeweils zwei Möglichkeiten.

Baumdiagramm Erstellung

Auch hier beschriften wir nun die Enden. Wir haben wieder jeweils die Möglichkeit rot und blau zu ziehen.

Baumdiagramm Erstellung

Als letztes beschriften wir wieder die Äste mit den relativen Häufigkeiten. Hier überlegen wir uns, dass die rote Kugel immernoch die Wahrscheinlichkeit \frac {3}{5} hat, da wir die vorherige Kugel, egal ob rot oder blau, wieder in die Urne zurückgelegt haben und somit sind wieder, wie am Anfang, 3 von 5 Kugeln rot. Genauso ist die Wahrscheinlichkeit von einer blauen Kugel immernoch \frac {2}{5}.

Baumdiagramm Erstellung

Dies ist das vollständig ausgefüllte Baumdiagramm. Würden wir noch eine dritte Kugel ziehen, dann würden wir diese drei Schritte wieder wiederholen.

Die Rechenregeln an einem Baumdiagramm:

An einem Baumdiagramm gibt es grundsätzlich zwei Rechenregeln:

Pfadmultiplikation

Um die Endwahrscheinlichkeiten zu bestimmen, wird entlang eines Astes multipliziert. Die Endwahrscheinlichkeiten stehen jeweils für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Versuchsausgangs.

Summenregel

Verschiedene Endwahrscheinlichkeiten werden addiert. Diese Regel wird dann gebraucht, wenn ein Ereignis mehrere Versuchsausgänge beinhaltet.

Pfadmultiplikation und Summenregel

Beispiele:

Beispiel 1: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von zwei roten Kugeln:

Pfadmultiplikation

Wie du siehst handelt es sich um einen einzigen Ast von dem wir nun die Endwahrscheinlichkeit suchen. Hierzu verwenden wir die Produktregel (sie wird oft auch Pfadmultiplikationsregel genannt):

P(r,r) = P(Summenregel,) = \frac {3}{5} x \frac {3}{5} = \frac {9}{25}

Beispiel 2: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von einer blauen Kugel:

Summenregel

Wie du siehst handelt es sich um zwei verschiedene Äste von denen wir nun die Endwahrscheinlichkeiten jeweils mit der Produktregel berechnen und diese dann mithilfe der Summenregel addieren. Die Formulierung „eine blaue Kugel“ sagt ja keinesfalls aus, dass diese Kugel als erstes gezogen werden muss. Diese blaue Kugel kann offensichtlich als erstes oder als zweites gezogen werden, sodass es genau diese beiden Äste sind, von denen wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen:

P(r,b) = P(,) = \frac {3}{5} x \frac {2}{5} = \frac {6}{25}

P(b,r) = P(,) = \frac {2}{5} x \frac {3}{5} = \frac {6}{25}

P(,) + P(,) = \frac {6}{25} + \frac {6}{25} = \frac {12}{25}

 

Tipps zur Erstellung:

1. Als erstes solltest du dir darüber im klaren sein, wie viele Abzweigungen du an jeder Stufe brauchst. Hierzu ist es sinnvoll sich die Frage zu stellen wofür die Abzweigungen in der Aufgabenstellung stehen (oft sind es die Farben der Kugeln, die verschiedenen Farben des Glücksrades, das Geschlecht,…). Tipps Baumdiagramm

2. Nun schaue bitte wieviele Stufen dein Baumdiagramm haben muss. Stelle dir also die Frage, wofür deine Stufen stehen (oft ist es die Anzahl an Handlungen, also wie oft eine Kugel entnommen wird, wie oft ein Rad gedreht wird, wieviele Personen getestet werden usw.).

Tipps Baumdiagramm

3. Du kannst deine Wahrscheinlichkeiten an einem Ast überprüfen, denn die Wahrscheinlichkeiten an jeder Abzweigung müssen addiert 1 ergeben.

Tipps Baumdiagramm

4. Auch deine Endwahrscheinlichkeiten lassen sich leicht überprüfen, denn alle Endwahrscheinlichkeiten müssen ebenfalls addiert 1 ergeben.

 

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