EinfachMathe mit Jenny · Stochastik

Baumdiagramm ohne Zurücklegen

Wie berechnest du Wahrscheinlichkeiten, wenn gezogene Kugeln nicht zurückgelegt werden?

Ich zeige dir am Beispiel von drei roten und zwei blauen Kugeln, wie du den Baum zeichnest, Äste beschriftest und die Pfad- und Summenregel anwendest.

Zum Baumdiagramm ↓Zu den Beispielen ↓

Urnenmodell2 ZiehungenPfad- & Summenregel

5Kugeln zu Beginn

4Mögliche Wege

6Übungsaufgaben

01 · EinfachMathe

Was bedeutet Ziehen ohne Zurücklegen?

Stell dir eine Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln vor. Du ziehst eine Kugel und legst sie nicht zurück. Bei der zweiten Ziehung sind daher nur noch 4 Kugeln in der Urne. Je nachdem, welche Farbe du gezogen hast, verändern sich die Wahrscheinlichkeiten.

Urne mit drei roten und zwei blauen Kugeln vor und nach der ersten Ziehung ohne Zurücklegen — Nach einer roten Kugel bleiben 2 rote und 2 blaue; nach einer blauen Kugel 3 rote und 1 blaue Kugel.

Merke: Die gezogene Kugel bleibt draußen. Deshalb sinkt die Gesamtzahl der Kugeln nach jeder Ziehung um eins – und auch die Anteile der Farben können sich verändern.

02 · EinfachMathe

Das solltest du vorher können

Du solltest wissen, wie man Wahrscheinlichkeiten als Bruch angibt, Brüche multipliziert, Brüche kürzt und die Verzweigungen eines Baumdiagramms liest. Das wiederholen wir kurz.

Wahrscheinlichkeit bestimmen

Bei gleich wahrscheinlichen Kugeln gilt: günstige Ausgänge durch alle möglichen Ausgänge. Hier sind 3 von 5 Kugeln rot. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, lautet also:

\[P(R)=\frac{\text{günstige Ausgänge}}{\text{alle möglichen Ausgänge}}=\frac35\]

Brüche multiplizieren

Bei zwei Brüchen rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

\[\frac35\cdot\frac24=\frac{3\cdot2}{5\cdot4}=\frac6{20}\xrightarrow{\text{gekürzt}}\frac3{10}\]

Brüche kürzen

Oft kürzt du dein Ergebnis am Ende noch. Aus 6 Zwanzigstel wird zum Beispiel 3 Zehntel.

\[\frac6{20}\xrightarrow{\text{gekürzt}}\frac3{10}\]

03 · EinfachMathe

So sieht das vollständige Baumdiagramm aus

Für die erste Ziehung gibt es zwei Äste: Rot (R) und Blau (B). Von jedem dieser Äste gehen bei der zweiten Ziehung erneut zwei Möglichkeiten ab. Es entstehen vier Wege: RR, RB, BR und BB.

Vollständiges Baumdiagramm mit den Pfaden RR RB BR BB und Wahrscheinlichkeiten 3/5 2/5 sowie 2/4 3/4 1/4 — Baumdiagramm für zweimaliges Ziehen aus drei roten und zwei blauen Kugeln ohne Zurücklegen.

Wichtig: Nach einem roten ersten Zug bleiben 2 rote und 2 blaue Kugeln, nach einem blauen ersten Zug 3 rote und 1 blaue. Daher darfst du die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Ziehung nicht auf beiden Ästen gleich eintragen.

04 · EinfachMathe

Baumdiagramm selbst ausfüllen: erst Nenner, dann Zähler

Mein Tipp: Zeichne zuerst nur die Äste. Trage dann an der ersten Stufe überall den Nenner 5 ein, an der zweiten überall den Nenner 4. Erst danach bestimmst du die passenden Zähler.

Vier-Schritte-Hilfe: erst Nenner im Baumdiagramm eintragen, danach Zähler anhand verbliebener Kugeln bestimmen — So trägst du Wahrscheinlichkeiten ohne Zurücklegen sicher ein.

Nach dem ersten Zug rot

2 rote und 2 blaue Kugeln bleiben übrig. Wir bestimmen hier also bedingte Wahrscheinlichkeiten: Wahrscheinlichkeiten unter der Voraussetzung, dass zuerst Rot gezogen wurde.

\[P_{R}(R)=\frac24,\qquad P_{R}(B)=\frac24\]

Index R: Bei der ersten Ziehung wurde Rot gezogen.

Nach dem ersten Zug blau

3 rote und 1 blaue Kugel bleiben übrig. Auch hier betrachten wir bedingte Wahrscheinlichkeiten – diesmal unter der Voraussetzung, dass zuerst Blau gezogen wurde.

\[P_{B}(R)=\frac34,\qquad P_{B}(B)=\frac14\]

Index B: Bei der ersten Ziehung wurde Blau gezogen.

Hinweis: Diese Wahrscheinlichkeiten sind bedingt, weil sie davon abhängen, was beim ersten Zug passiert ist. Du berechnest also die Wahrscheinlichkeit für die zweite Ziehung unter einer bestimmten Voraussetzung – nämlich dem Ergebnis der ersten Ziehung.

Kontrolle: An jedem Knoten muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller abgehenden Äste genau 1 ergeben. Die Endwahrscheinlichkeiten aller vollständigen Pfade prüfen wir anschließend getrennt.

\[\frac35+\frac25=1,\qquad \frac24+\frac24=1,\qquad \frac34+\frac14=1\]

So überprüfst du dein Baumdiagramm

1. Möglichkeit: An jeder Verzweigung kontrollieren

Die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von demselben Verzweigungspunkt ausgehen, müssen zusammen 1 ergeben. In der Grafik sind zusammengehörende Wahrscheinlichkeiten gleichfarbig markiert.

Baumdiagramm mit farblich markierten Wahrscheinlichkeiten: 3/5 plus 2/5, 2/4 plus 2/4 und 3/4 plus 1/4 ergeben jeweils 1. — Gleichfarbige Brüche gehören zusammen und ergeben an ihrer Verzweigung jeweils 1.

2. Möglichkeit: Alle Endwahrscheinlichkeiten addieren

Die vier Endpfade RR, RB, BR und BB erfassen alle möglichen Ergebnisse. Deshalb müssen die Endwahrscheinlichkeiten addiert genau ein Ganzes (1) ergeben.

\[\begin{aligned}P(RR)+P(RB)+P(BR)+P(BB)&=\frac6{20}+\frac6{20}+\frac6{20}+\frac2{20}\\&=\frac{20}{20}=\boxed{1}\end{aligned}\]

Baumdiagramm mit Endwahrscheinlichkeiten RR gleich 6/20 gleich 3/10, RB gleich 6/20 gleich 3/10, BR gleich 6/20 gleich 3/10 und BB gleich 2/20 gleich 1/10 sowie Summe gleich 1. — Probe über alle vier Endwahrscheinlichkeiten: Erst Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen, sinnvoll kürzen und anschließend alles zu 1 addieren.

05 · EinfachMathe

Mit oder ohne Zurücklegen – was ist der Unterschied?

Beim Ziehen mit Zurücklegen kommt die Kugel vor der zweiten Ziehung wieder in die Urne: Die Zusammensetzung bleibt gleich. Ohne Zurücklegen bleibt sie draußen, sodass sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe ändern.

Direkter Vergleich von Baumdiagrammen mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen für drei rote und zwei blaue Kugeln — Links bleiben die Wahrscheinlichkeiten konstant, rechts hängen sie vom ersten Zug ab.

Einfacher Merksatz: Mit Zurücklegen bleibt die Urne gleich. Ohne Zurücklegen ändert sich ihr Inhalt nach jedem Zug.

Stochastischer Blick: Mit Zurücklegen sind erste und zweite Ziehung unabhängig. Ohne Zurücklegen sind sie abhängig, weil der erste Zug die zweite Wahrscheinlichkeit verändert.

06 · EinfachMathe

Pfadmultiplikationsregel und Summenregel

Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen willst, gelten zwei zentrale Regeln:

Pfadmultiplikationsregel

Bei einem einzelnen Weg werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

\[P(RR)=\frac35\cdot\frac24=\frac6{20}=\frac3{10}\]

Summenregel

Gehören mehrere unterschiedliche Wege zum Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.

\[P(\text{genau 1 blau})=P(RB)+P(BR)=\frac3{10}+\frac3{10}=\frac35\]

07 · EinfachMathe

Lernvideo: Baumdiagramm ohne Zurücklegen

Im Video erkläre ich dir das Urnenmodell und wie du das Baumdiagramm beim Ziehen ohne Zurücklegen richtig beschriftest. Du kannst jederzeit stoppen und den Baum selbst mitzeichnen.

Videovorschau EinfachMathe: Baumdiagramm Ziehen ohne Zurücklegen – Urnenmodell

Video auf YouTube öffnen ↗

08 · EinfachMathe

Ausführliche Beispiele mit Lösungen

Die folgenden Beispiele beziehen sich alle auf unsere Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln. Öffne die Rechnung, wenn du sie nachvollziehen möchtest.

Unsere Urne bleibt gleich: Am Anfang liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln darin. Wir betrachten immer zwei Ziehungen ohne Zurücklegen. Die Farben R und B bezeichnen die einzelnen Ergebnisse.

Ausgangssituation für die Rechenbeispiele: Urne mit drei roten und zwei blauen Kugeln, insgesamt fünf Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen — Ausgangssituation für alle folgenden Beispiele: 3 rote und 2 blaue Kugeln – zweimal ziehen ohne Zurücklegen.

Beispiel 1 · Zweimal rot · Lösung aufklappen ＋

Wir folgen dem einzigen passenden Pfad RR. Bei der ersten Ziehung ist Rot mit \(\frac35\) möglich, nach der roten Kugel mit \(\frac24\).

\[P(RR)=\frac35\cdot\frac24=\frac6{20}=\boxed{\frac3{10}}\]

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 30 %.

Beispiel 2 · Genau eine blaue Kugel · Lösung aufklappen ＋

„Genau eine blaue Kugel“ kann auf zwei Arten passieren: Rot–Blau (RB) oder Blau–Rot (BR).

\[P(RB)=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}\]

\[P(BR)=\frac25\cdot\frac34=\frac3{10}\]

Da beide Wege möglich sind, addieren wir:

\[P(\text{genau 1 blau})=\frac3{10}+\frac3{10}=\boxed{\frac35}\]

Beispiel 3 · Mindestens eine blaue Kugel · Lösung aufklappen ＋

„Mindestens eine blaue“ bedeutet eine oder zwei blaue Kugeln. Am einfachsten benutzen wir das Gegenereignis „keine blaue Kugel“, also RR.

\[P(\text{mind. 1 blau})=1-P(RR)=1-\frac3{10}=\boxed{\frac7{10}}\]

Alternativ kannst du die drei Wege RB, BR und BB einzeln berechnen und addieren.

Beispiel 4 · Zwei unterschiedliche Farben · Lösung aufklappen ＋

Die beiden Kugeln sollen unterschiedliche Farben haben. Dafür passen die Wege RB und BR.

\[P(RB\ \text{oder}\ BR)=\frac35\cdot\frac24+\frac25\cdot\frac34=\frac6{20}+\frac6{20}=\boxed{\frac35}\]

Achtung: Die Reihenfolge ist hier egal, deshalb zählen beide Wege.

09 · EinfachMathe

Typische Fehler vermeiden

Fehler 1: Nenner bleibt gleich

Falsch wäre, auch beim zweiten Zug noch durch 5 zu teilen. Richtig: Nach dem ersten Zug befinden sich nur noch 4 Kugeln in der Urne.

Fehler 2: Nach Rot und Blau gleich weiterrechnen

Nach Rot gilt \(\frac24\) und \(\frac24\), nach Blau dagegen \(\frac34\) und \(\frac14\). Die Zusammensetzung ist unterschiedlich.

Fehler 3: Pfade addieren statt multiplizieren

Bei einem einzelnen Weg wird multipliziert: \(\frac35\cdot\frac24\). Addiert wird erst dann, wenn mehrere Wege zum Ereignis gehören.

Fehler 4: „Mindestens“ mit „genau“ verwechseln

„Genau eine blaue“ schließt BB aus. „Mindestens eine blaue“ schließt BB mit ein.

Tipp: In der Stochastik musst du Aufgaben besonders genau lesen. Schlüsselwörter wie mindestens, mehr als, höchstens oder genau machen oft einen entscheidenden Unterschied und führen häufig zu unterschiedlichen Ergebnissen.

10 · EinfachMathe

Sechs Übungsaufgaben mit Lösungen

Rechne zuerst selbst mit dem Baumdiagramm. Die Lösungen kannst du anschließend einzeln aufklappen.

Aufgabe 1 · Level 1 · Zweimal blau

Lösung anzeigen ＋

Es gibt nur den Pfad BB.

\[P(BB)=\frac25\cdot\frac14=\frac2{20}=\boxed{\frac1{10}}\]

Aufgabe 2 · Level 1 · Erst blau, dann rot

Lösung anzeigen ＋

Beachte nach dem ersten Zug blau die drei verbleibenden roten Kugeln.

\[P(BR)=\frac25\cdot\frac34=\frac6{20}=\boxed{\frac3{10}}\]

Aufgabe 3 · Level 2 · Genau eine rote Kugel

Lösung anzeigen ＋

Die Pfade RB und BR ergeben jeweils genau eine rote Kugel.

\[P(RB)+P(BR)=\frac35\cdot\frac24+\frac25\cdot\frac34=\boxed{\frac35}\]

Aufgabe 4 · Level 2 · Keine blaue Kugel

Lösung anzeigen ＋

Keine blaue Kugel bedeutet, beide Kugeln sind rot.

\[P(RR)=\frac35\cdot\frac24=\boxed{\frac3{10}}\]

Aufgabe 5 · Level 3 · Mindestens eine rote Kugel

Lösung anzeigen ＋

Das Gegenereignis ist zweimal blau.

\[1-P(BB)=1-\frac1{10}=\boxed{\frac9{10}}\]

Aufgabe 6 · Level 3 · Beide Kugeln haben dieselbe Farbe

Lösung anzeigen ＋

Passend sind RR und BB; beide Pfade werden addiert.

\[P(RR)+P(BB)=\frac3{10}+\frac1{10}=\boxed{\frac25}\]

11 · EinfachMathe

Häufige Fragen

Warum ändern sich die Nenner? ＋

Weil eine Kugel nicht zurückgelegt wird. Bei der ersten Ziehung sind 5 Kugeln vorhanden, bei der zweiten nur noch 4.

Warum sind die Zähler nach Rot und Blau unterschiedlich? ＋

Weil die Zusammensetzung der verbliebenen Kugeln davon abhängt, welche Farbe bereits gezogen wurde.

Was bedeutet „genau eine blaue Kugel“? ＋

Das sind genau die Wege \(RB\) und \(BR\), nicht \(BB\).

Was ist der Unterschied zwischen „genau eine“ und „mindestens eine“? ＋

„Genau eine“ umfasst \(RB\) und \(BR\); „mindestens eine“ zusätzlich \(BB\).

Darf ich die Brüche im Baumdiagramm kürzen? ＋

Ja. Zum Aufbau des Diagramms ist es aber oft anschaulicher, die tatsächliche Anzahl vorhandener Kugeln im Nenner zu behalten.

Was passiert bei drei Ziehungen? ＋

Wenn drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, sind die Nenner der aufeinanderfolgenden Ziehungen 5, 4 und 3.

12 · EinfachMathe

Weiterlernen mit EinfachMathe

Das Wichtigste zum Mitnehmen

Ohne Zurücklegen: Nach jeder Ziehung befindet sich eine Kugel weniger in der Urne. Entlang eines Pfades multiplizierst du, mehrere passende Pfade addierst du. Zur Kontrolle ergeben die Endwahrscheinlichkeiten zusammen 1.

Baumdiagramm noch einmal ansehen ↑

EinfachMathe mit Jenny · Mathematik einfach erklärt.

Baumdiagramm: Ziehen ohne Zurücklegen

Baumdiagramm ohne Zurücklegen

Was bedeutet Ziehen ohne Zurücklegen?