Ortskurve der Extrempunkte einer Funktionsschar
In diesem Beitrag schauen wir uns an, wie man die Ortskurve der Extrempunkte einer Funktionsschar berechnet.
Wir gehen von der Definition aus, bestimmen die relevanten Extrempunkte und leiten daraus die Gleichung der Ortskurve her.
Inhalt:
1. Was ist eine Funktionsschar
2. Was ist die Ortskurve
3. Berechnung anhand eines Beispieles
– Berechnung der Extrema
– Berechnung Ortskurve
1. Was ist eine Funktionsschar?
Eine Funktionsschar ist eine Familie von Funktionen, die durch einen Parameter \(a\) beschrieben wird.
Beispiel:$$
f_a(x) = x^3 – 2a x^2, \quad a \in \mathbb{R}
$$
Für \(a=1\) erhältst du beispielsweise die Funktion \(f_1(x)= x^3 – 2x^2\)
Für \(a=2\) erhältst du beispielsweise die Funktion \(f_1(x)= x^3 – 4x^2\)
Für jedes feste \(a\) erhältst du also eine konkrete Funktion.
Verändert sich \(a\), ändern sich Form und Lage des Funktionsgraphen.
2. Was ist eine Ortskurve?
Die Ortskurve der Extrempunkte verbindet alle Extrempunkte, die entstehen, wenn der Parameter \(a\) variiert.
Idee:
– Finde die Extrempunkte \(E(a)\) der Scharfunktion.
– Identifiziere den Extrempunkt, dessen x-Koordinate den Parameter \(a\) enthält.
– Berechne die Ortskurve → das ergibt \(y = \mathcal{O}(x)\).
